Conjecturer et raisonner par récurrence

[invitea7ad26dc]

Bonjour à tous, bon je pense que vous avez compris le titre alors je me lance ,

J'ai commencé un exercice et je bloque à un certain niveau lors de la démonstration, donc voilà :

1. Déterminer à partir de quel rang la propriété semble vraie.

Je vais pas touts détailler, bref, j'ai trouvé qu'à partir du rang 6, .

2. Démontrer alors par récurrence que la propriété est vraie à partir du rang trouvé.

Alors la j'ai fais :

*Initialisation : (q.1) P(6) est vraie.

*Hérédité :
On suppose que la propriété est vraie à partir de
On veut montrer que est vraie, càd, montrer que pour tout , on a :

Par hypothèse de récurrence, pour tout , on a
Or,
Donc,

Et c'est ici que je bloque, car déjà la proposition est vraie qu'à partir du rang 8, et de plus la propriété elle débute au rang 6.
Je suis perdue, quelqu'un pourrait-t-il m'éclairer ?

C'est gentil de votre part de m'aacorder votre attention, merci!
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[invite9dc7b526]

Par hypothèse de récurrence, pour tout n \geq 6, on a 2^n \geq (n+2)^2

est-ce que ce n'est pas ce que tu veux montrer?

[invitea7ad26dc]

Si c'est ce que je souhaite démontrer par récurrence ! :/

[invite9dc7b526]

donc tu ne peux pas l'utiliser comme hypothèse de récurrence.

Ton hypothèse est que pour un certain n supérieur à 6 (et non pour tout n supérieur à 6) on a 2^n >= (n+2)^2. Maintenant tu essaies de voir si cette relation est encore vraie pour n+1, c'est-à-dire, si 2^(n+1) >= (n+3)^2

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea7ad26dc]

C'est justement là que je bloque :/ .
Merci pour ton aide! ^^

C'est le 2^n qui me bloque je sais pas comment faire le lien avec (n+2)^2

[PlaneteF]

Bonsoir,

(...)
2^n+1 \geq (n+3)^2

(...) 2^n+1 \geq 2n^2

Attention à tes écritures qui sont fausses, c'est l'exponentiation qui est prioritaire sur l'addition et non pas l'inverse !

Rappel : https://fr.wikipedia.org/wiki/Ordre_des_op%C3%A9rations

(...)

Sinon :

A partir de là, essaye de raisonner par condition suffisante.


Cordialement

[invitea7ad26dc]

D'accord merci pour ces informations je vais tout de suite me mettre au travail !

[invitea7ad26dc]

Du coup j'ai tenté :

Mq :

Or Alors
Mq
Mais c'est insensé !
Help pleease :'(

[invite9dc7b526]

Tu peux peut-être développer (n+3)^2 = (n+2)^2 + 1 + 2(n+2)

[invitea7ad26dc]

Comment tu a obtenue ce résultat ?
Pourquoi développer ?

[invite9dc7b526]

tu es en quelle classe?

j'ai juste développé le binôme ((n+2) + 1)^2

[invitea7ad26dc]

Oui oui je viens de comprendre, je suis en terminale, le devoirs est à rendre demain et je bloque sur cette exercice depuis samedi dernier :/