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Bonjour.. Je souhaiterai une justification sur certaines notions..



  1. #1
    stefoufoune

    Bonjour.. Je souhaiterai une justification sur certaines notions..


    ------

    L'objet de cet exercice est de démontrer le résultat suivant: lim (lnx/x)=0
    x tend vers +00
    Partie A: étude de fonction:


    V=racine carrée

    On considère la fonction f définie sur ]0; +00[ par f(x)= lnx - Vx

    1. calculer f'(x) et montrer que l'on a f'(x)= (2-Vx)/2x

    2. En déduire le tableau de variation de f sur ]0;+00[ (les limites ne sont pas demandées)

    3.justifier alors que, pour tout x de ]0;+00[, on a: lnx < Vx


    Partie B: Utilisation des théorèmes de comparaison:

    1.démontrer que, pour tout réel x strictement supérieur à 1, on a:

    0< lnx/x < 1/Vx

    2. Démontrer lim (1/Vx)quand x tend vers +00.
    En déduire lim (lnx/x) quand x tend vers +00.

    Réponse:

    Partie A:

    1/ f'(x) = 1/x - 1/2Vx
    f'(x)= 2/2x - 1/2Vx et la je dois faire comment pour arrivé à 2-Vx /2x?

    2/ le tableau de variation def: la vaeur qui s'annule d ela dérivée c'est V2
    dans le tableau du signe d ela dérivée, cela donne + et - soit la fonction f croissante jusqu'en V2 et puis décroissante jusqu'à +00.

    3/ de 0 à V2 la fonction f est croissante et de V2 à +00 on a vu que la fonction f était décroissante donc lnx < Vx
    Je n'arrive pas à l'expliquer..

    Partie B:

    1/ ..

    2/ lim (1/Vx) = 0. car lim 1/x =0
    quand x tend vers +00

    donc lim lnx/x= 0


    J'aimerai vrément que l'on m'aide à justifier ..

    Merci.

    -----

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  3. #2
    Tonton Nano

    Re : Bonjour.. Je souhaiterai une justification sur certaines notions..

    Bonjour.

    1) Tu peux reduire au meme dénominateur et après, multiplier le numérateur et le denominateur par .

    2) La dérivée ne s'annule pas en mais en ...

    Voila pour le début.
    Bon courage

  4. #3
    stefoufoune

    Re : Bonjour.. Je souhaiterai une justification sur certaines notions..

    je ne vois pas comment
    je me retrouve à 2V1/ 2Vx - 1/2Vx ..

  5. #4
    Tonton Nano

    Re : Bonjour.. Je souhaiterai une justification sur certaines notions..

    On a

    On réduit au meme dénominateur

    Puis on multiplie en haut et en bas par

    Puis on simplifie par x ...

  6. #5
    stefoufoune

    Re : Bonjour.. Je souhaiterai une justification sur certaines notions..

    ahh d'accord merci beaucoup.
    je pensais pas que l'on faisait comme sa.
    Merci.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    stefoufoune

    Re : Bonjour.. Je souhaiterai une justification sur certaines notions..

    lorsque x tend vers 0
    f(x) < 0 puisque ln(x) vaut -oo quand x tends vers 0

    Puis f croît jusqu’à x = 4. Pour x = 4, ln(x) – Vx = ln(4) – V4 = 1.38 – 2 < 0

    Donc pour 0 < x < 4, ln(x) – x < 0

    Puis f décroît pour x > 4, donc ne peut que rester négatif.

    c'est cela?..

    Partie B:
    1/ on a vu que ln(x) – Vx < 0 donc en divisant par x > 0on obtient:

    ln(x)/x < 1/Vx
    donc lnx/x < 1/Vx
    on peux faire comme sa?

    Merci..

  9. Publicité
  10. #7
    Tonton Nano

    Re : Bonjour.. Je souhaiterai une justification sur certaines notions..

    Citation Envoyé par stefoufoune
    lorsque x tend vers 0
    f(x) < 0 puisque ln(x) vaut -oo quand x tends vers 0

    Puis f croît jusqu’à x = 4. Pour x = 4, ln(x) – Vx = ln(4) – V4 = 1.38 – 2 < 0

    Donc pour 0 < x < 4, ln(x) – x < 0

    Puis f décroît pour x > 4, donc ne peut que rester négatif.

    c'est cela?..
    C'est parfait !

    Citation Envoyé par stefoufoune
    Partie B:
    1/ on a vu que ln(x) – Vx < 0 donc en divisant par x > 0on obtient:

    ln(x)/x < 1/Vx
    donc lnx/x < 1/Vx
    on peux faire comme sa?
    Oui mais n'oublie pas de préciser que x est positif sinon, il faut changer le sens de l'inégalité ...

    Bon travail

  11. #8
    stefoufoune

    Re : Bonjour.. Je souhaiterai une justification sur certaines notions..

    Partie B:
    2.
    0< lnx/x < 1/Vx pour x > 1 donc :
    0 < lim (lorsque x tend vers +oo) de lnx/x < lim (lorsque x tend vers +oo) de 1/Vx

    Or on sait que 1/Vx tend vers 0+ lorsque x tend vers +oo donc :
    0 < lim (lorsque x tend vers +oo) de lnx/x < 0+ donc :
    lim (lorsque x à+oo) de lnx/x = 0+

    ce n'est pas le théorème du gendarme? non?

  12. #9
    Tonton Nano

    Re : Bonjour.. Je souhaiterai une justification sur certaines notions..

    Oui, c'est ça !
    Pas de problemes

  13. #10
    stefoufoune

    Re : Bonjour.. Je souhaiterai une justification sur certaines notions..

    Merci bien !

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