exercice de maths de resonnement ( tiré d'un concours)

[midorima]

Bonjour tout le monde
Voilà quelque jours que j'essaie de resoudre cet exercice sans succès
J'espère que vous pourrez m'aider
L'énoncé :
Soit a et b des nombres naturels tel que
a+b+ab=79
a²b + ab² = 1008
-trouve la valeur de a²+b² ( la valeur est un nombre naturel)

Voilà moi
Je modifie l'écriture de ces équations mais je fais que tourner dans
Le meme sens
J'arive au fait que
79-ab=1008÷ab
a²+b²=(79-ab)²-2ab
a²+b²=(1008÷ab)-2ab

Mais je n'arrive pas a avancer
Espérant que vous m'aidrez
Merci
-----

[gg0]

Bonjour Midorima.

On écrit "raisonnement"; résonner, c'est faire du bruit !
Pour ton problème, tu peux remarquer que tu as la somme et le produit des deux nombres (a+b) et (ab). On peut alors les calculer (équations somme/produit), puis pas la même méthode, en déduire a et b.

Bon travail !

[midorima]

Bonjour
Merci pour avoir repondu aussi vite
(Désolé pour l'orthographe)
Bon
Le problème justement dans cet exercice
C'est que je n'arrive pas a ecrire la somme et le produit
Des 2 nombres en nombre
J'arrive a ecrire la somme en fonction du produit
Et le produit en fonction de la somme
a+b =1008÷ab
a+b=79-ab
ab=1008÷(a+b)
ab=79-a-b
Et la je tourne dans lmeme pot
Y a t il une chose que je ne voie pas

[gg0]

Théorème classique : Si deux nombres ont pour somme S et pour produit P, ils sont les racines de l'équation X²-SX+P=0.

Exemple : Si x+y=12 et xy=35, alors x et y sont les racines de X²-12X+35=0. On trouve X=5 ou X=7, donc x=5 et y=7 ou x=7 et y=5.

Mais même sans ce théorème, en posant s=a+b et p=ab dans ton problème, tu as
s+p=79
sp= 1008
On procède par substitution
p=79-s
s(79-s)=1008
la deuxième équation se résout facilement (c'est s²-79s+1008=0, comme le dit le théorème, qui dit en plus qu'on a aussi p²-79p+1008=0).

Bon travail !

[A voir en vidéo sur Futura]

[midorima]

Merci
Pour ta réponse
En résolvant les deux équations
Je trouve sois a+b=16 et ab=63
Ou alors le contraire
Ya t il un moyen de savoir quel est le juste ?
Pour calculer ensuite a²+b²

[Resartus]

Bonjour,
Avec des nombres quelconques les deux solutions seraient possibles : mais en faisant les deux calculs, on voit qu'une seule donne des nombres entiers

[midorima]

Bonjour
Resartus
Peux tu m'eclairer sur quel calculs parles tu ?

[Dlzlogic]

Bonsoir,
Je sais que c'est hors-sujet dans le cas présent, mais j'ai mis au point une méthode de résolution de système de N équations du second degré à N inconnues.
Il s'agit d'un contexte général, par exemple où les relations concernent des distances.
Pardon pour le [hs] mais ça peut peut-être intéresser quelqu'un.

[PrRou_]

Bonjour

*** Inutile ***

Revenons au sujet, à savoir résoudre dans les entiers naturels le système d'équation a+b+ab=79 , a²b + ab² = 1008
avec des outils niveau lycée. Je rappelle le point important donné par gg0 :
Théorème classique : Si deux nombres ont pour somme S et pour produit P, ils sont les racines de l'équation X²-SX+P=0.

On va utiliser ce théorème plusieurs fois : la première fois avec x1 = a+b et x2 = ab .
On sait que x1 + x2 = a+b+ab = 79 et x1 . x2 = (a+b)ab = a²b+ab² = 1008 .
Donc on connait la somme x1+x2 (79) et le produit x1 . x2 (1008)
donc x1 et x2 sont solutions de X²-79X +1008 = 0,
donc a+b=x1 = 63 et a.b=x2 = 16 , ou bien a+b=x1 = 16 et a.b=x2 = 63

Le message #5 de midorima en était là et le plus gros travail était fait. Reste un dernier effort :

il s'agit simplement de continuer la démarche pour obtenir a et b !
Premier cas : a+b=63 et ab=16
Donc a et b sont solutions de T²-63T+16 , qui sont .... (pas entières)

Second cas : a.b=63 et a+b=16
Donc a et b sont solutions de T²-16T+63 , qui sont .... (entières)

Conclusion :
il y a deux couples solutions, (a,b) =.... ou (a,b) =.....

Cordialement

[ansset]

edit : devenu inutile à la relecture.

[midorima]

Rebonjour
Merci
Pour vos indications
apres avoir fais les calculs
On trouve que
Seul. ab=63
Et a+b =16
Correspondent
Donc a²+b²= 130

Merci beaucoup pour votre aide