Terminale S : difficulté pour un exercice sur le résonnement par récurrence

[invite09737e28]

Bonsoir,

Je bloque sur un exercice sur le raisonnement par récurrence de TS. Je vous serais reconnaissant de m'aider. En voici l'énoncé :

Démontrez par récurrence que la proposition P_n:"3²ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺² est un multiple de 7" est vraie pour tout n entier naturel.

Voici les étapes que j'ai suivi :

Je fais l'initialisation : je vérifie que P₀ est vraie, ce qui est le cas.

Je passe à l'hérédité et c'est là ou je bloque : après avoir supposé que P_n est vraie pour un entier naturel n (hypothèse de récurrence), je développe P_n+1 :

3^2(n+1)+1 + 2ⁿ⁺³ = ...
ce qui donne en fin de compte (en introduisant l'hypothèse de récurrence ...) :
77k - 9*2ⁿ⁺¹ - 2*3²ⁿ⁺¹

et c'est là ou je bloque, je n'arrive pas à me débarasser des puissances pour obtenir une expression de forme 7k et justifier donc que Pⁿ⁺¹ est vraie.

Merci pour vos éclairages et bonne soirée.
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[invite7faacbf0]

Salut je ne vais pas te donner la réponse mais je dirais cela :


http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}%20\right%20)

Et puis non j'ai donné la réponse XD !!
Sur ce bonsoir .

Heu une dernière question , quelqu'un pourrait me passer un site de Latex supporter par le forum ^^ merci !

[invite09737e28]

Merci pour la piste ! J'ai finalement résolu l'exercice en introduisant l'hypothèse de récurrence dans l'expression que tu as proposé puis j'ai factorisé par 7. Bonsoir.

[invitea3eb043e]

Vraiment besoin d'une récurrence ?
Ca s'écrit 3. 9^n + 4.2^n qui est congru à 3.2^n + 4.2^n qui est un multiple de 7.
Ca tient en une ligne !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite09737e28]

Vraiment besoin d'une récurrence ?
Ca s'écrit 3. 9^n + 4.2^n qui est congru à 3.2^n + 4.2^n qui est un multiple de 7.
Ca tient en une ligne !

Nous n'avons pas encore abordé la notion de congruence en classe, c'est pour cette raison que je ne peux pas l'utiliser.

Merci pour ta réponse quand même et bonne soirée !

[Médiat]

Heu une dernière question , quelqu'un pourrait me passer un site de Latex supporter par le forum ^^ merci !

Regardez là : http://forums.futura-sciences.com/ma...-formules.html

[inviteb9469e86]

l'hypothèse de récurrence est que 3^{2 n + 1} + 2^{n + 2} est un multiple de 7
donc il existe un entier k tel que 3^{2 n + 1} + 2^{n + 2} = 7 k
au rang n + 1
3^{2 n + 3} + 2^{n + 3} = 9*3^{2 n + 1} + 2*2^{n + 2}
= 9*(7 k - 2^{n + 2} ) + 2*2^{n + 2}
= 9*7 k - 9*2^{n + 2} + 2*2^{n + 2}
= 9 * 7 k - 7*2^{n + 2}
= 7 [9 k - 2^{n + 2}]
= 7 q où q est un entier relatif donc 7 divise 3^{2 n + 3} + 2^{n + 3}
l'hérédité est démontrée

[invite71515081]

Bonjour.
j'ai quelques petit problemes avec le raisonnement par récurrence.
J'ai une suite V=Un-1/Un+2
Je dois prouver que c'est une suite géométrique dee raison 2/5
Donc j'ai calculé Vn+1/Vn mais je ne tombe pas sur 2/5
pouvez-vous m'aidez?

Merci d'avance

[invite1ae665ab]

Bonjour mais moi aussi j ai un problème avec mon dm de math je dois démontrer An+1 = -1/2an + 1 Et pour la question précédente j ai du prouver an+2 = (an + an+1) / 2

Et a0 vaut 0 et a1 vaut 1

J ai bien prouver que a1 vraie
Mais pour l hérédité j ai un doute. Il faut bien démonter pour k+1 mais j ai déjà n+1 alors je fais comment???

Merci de me répondre rapidement

[PlaneteF]

Bonjour mais moi aussi j ai un problème avec mon dm de math je dois démontrer An+1 = -1/2an + 1 Et pour la question précédente j ai du prouver an+2 = (an + an+1) / 2

Et a0 vaut 0 et a1 vaut 1

J ai bien prouver que a1 vraie
Mais pour l hérédité j ai un doute. Il faut bien démonter pour k+1 mais j ai déjà n+1 alors je fais comment???

Merci de me répondre rapidement

Bonjour,

Remarque pour info : Normalement on ne greffe pas une discussion sur une existante, mais on en crée une nouvelle.

Cordialement