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Terminale S : difficulté pour un exercice sur le résonnement par récurrence



  1. #1
    jojo525

    Question Terminale S : difficulté pour un exercice sur le résonnement par récurrence


    ------

    Bonsoir,

    Je bloque sur un exercice sur le raisonnement par récurrence de TS. Je vous serais reconnaissant de m'aider. En voici l'énoncé :

    Démontrez par récurrence que la proposition Pn:"32n+1+2n+2 est un multiple de 7" est vraie pour tout n entier naturel.

    Voici les étapes que j'ai suivi :

    Je fais l'initialisation : je vérifie que P0 est vraie, ce qui est le cas.

    Je passe à l'hérédité et c'est là ou je bloque : après avoir supposé que Pn est vraie pour un entier naturel n (hypothèse de récurrence), je développe Pn+1 :

    32(n+1)+1 + 2n+3 = ...
    ce qui donne en fin de compte (en introduisant l'hypothèse de récurrence ...) :
    77k - 9*2n+1 - 2*32n+1

    et c'est là ou je bloque, je n'arrive pas à me débarasser des puissances pour obtenir une expression de forme 7k et justifier donc que Pn+1 est vraie.

    Merci pour vos éclairages et bonne soirée.

    -----
    Dernière modification par jojo525 ; 10/09/2010 à 19h17.

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  3. #2
    darkpseudo

    Re : Terminale S : difficulté pour un exercice sur le résonnement par récurrence

    Salut je ne vais pas te donner la réponse mais je dirais cela :


    http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}%20\right%20)

    Et puis non j'ai donné la réponse XD !!
    Sur ce bonsoir .

    Heu une dernière question , quelqu'un pourrait me passer un site de Latex supporter par le forum ^^ merci !

  4. #3
    jojo525

    Re : Terminale S : difficulté pour un exercice sur le résonnement par récurrence

    Merci pour la piste ! J'ai finalement résolu l'exercice en introduisant l'hypothèse de récurrence dans l'expression que tu as proposé puis j'ai factorisé par 7. Bonsoir.

  5. #4
    Jeanpaul

    Re : Terminale S : difficulté pour un exercice sur le résonnement par récurrence

    Vraiment besoin d'une récurrence ?
    Ca s'écrit 3. 9^n + 4.2^n qui est congru à 3.2^n + 4.2^n qui est un multiple de 7.
    Ca tient en une ligne !

  6. #5
    jojo525

    Re : Terminale S : difficulté pour un exercice sur le résonnement par récurrence

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Vraiment besoin d'une récurrence ?
    Ca s'écrit 3. 9^n + 4.2^n qui est congru à 3.2^n + 4.2^n qui est un multiple de 7.
    Ca tient en une ligne !

    Nous n'avons pas encore abordé la notion de congruence en classe, c'est pour cette raison que je ne peux pas l'utiliser.

    Merci pour ta réponse quand même et bonne soirée !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Médiat

    Re : Terminale S : difficulté pour un exercice sur le résonnement par récurrence

    Citation Envoyé par darkpseudo Voir le message
    Heu une dernière question , quelqu'un pourrait me passer un site de Latex supporter par le forum ^^ merci !
    Regardez là : http://forums.futura-sciences.com/ma...-formules.html
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  10. #7
    Cherchell

    Re : Terminale S : difficulté pour un exercice sur le résonnement par récurrence

    l'hypothèse de récurrence est que 32 n + 1 + 2n + 2 est un multiple de 7
    donc il existe un entier k tel que 32 n + 1 + 2n + 2 = 7 k
    au rang n + 1
    32 n + 3 + 2n + 3 = 9*32 n + 1 + 2*2n + 2
    = 9*(7 k - 2n + 2 ) + 2*2n + 2
    = 9*7 k - 9*2n + 2 + 2*2n + 2
    = 9 * 7 k - 7*2n + 2
    = 7 [9 k - 2n + 2]
    = 7 q où q est un entier relatif donc 7 divise 32 n + 3 + 2n + 3
    l'hérédité est démontrée

  11. #8
    Mooglie

    Re : Terminale S : difficulté pour un exercice sur le résonnement par récurrence

    Bonjour.
    j'ai quelques petit problemes avec le raisonnement par récurrence.
    J'ai une suite V=Un-1/Un+2
    Je dois prouver que c'est une suite géométrique dee raison 2/5
    Donc j'ai calculé Vn+1/Vn mais je ne tombe pas sur 2/5
    pouvez-vous m'aidez?

    Merci d'avance

  12. #9
    agathe57

    Re : Terminale S : difficulté pour un exercice sur le résonnement par récurrence

    Bonjour mais moi aussi j ai un problème avec mon dm de math je dois démontrer An+1 = -1/2an + 1 Et pour la question précédente j ai du prouver an+2 = (an + an+1) / 2

    Et a0 vaut 0 et a1 vaut 1

    J ai bien prouver que a1 vraie
    Mais pour l hérédité j ai un doute. Il faut bien démonter pour k+1 mais j ai déjà n+1 alors je fais comment???

    Merci de me répondre rapidement

  13. #10
    PlaneteF

    Re : Terminale S : difficulté pour un exercice sur le résonnement par récurrence

    Citation Envoyé par agathe57 Voir le message
    Bonjour mais moi aussi j ai un problème avec mon dm de math je dois démontrer An+1 = -1/2an + 1 Et pour la question précédente j ai du prouver an+2 = (an + an+1) / 2

    Et a0 vaut 0 et a1 vaut 1

    J ai bien prouver que a1 vraie
    Mais pour l hérédité j ai un doute. Il faut bien démonter pour k+1 mais j ai déjà n+1 alors je fais comment???

    Merci de me répondre rapidement
    Bonjour,

    Remarque pour info : Normalement on ne greffe pas une discussion sur une existante, mais on en crée une nouvelle.

    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 23/10/2013 à 14h50.

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