Terminale S raisonnement par récurrence

[invite18c41d03]

Bonjour j'ai 2 petits exercices que je viens de faire mais j'ai des doutes et si possible je vous demande si vous pouvez m'aider à rectifier mes erreurs svp merci ^^.

Alors le 1er:

Démontrer par recurrence que pour tout entier naturel n,
5^(n+2) >= 4^(n+2)+3^(n+2)

J'ai fais ceci:
Soit P(n) la propriété de tout n de N: "5^(n+2) >= 4^(n+2)+3^(n+2)", j'utilise le raisonnement par recurrence

1) initialisation
Est ce que P(0) vraie?
P(0): 5^2 = 25 et 4^2 + 3^2 = 25 donc on a une égalité mais je n'ai pas d'inégalité, faut -il que je fasse avec P(1) qui me donnerai alors 5^3 = 125 et 4^3+3^3 = 91 là on a bien une inégalité (est ce que c'est neccessaire pour P(1)?
Don je dis que P(0) vraie
2) hérédité:
Pour tout n fixé de N, je suppose P(n) vraie c'est a dire que 5^(n+2) >= 4^(n+2)+3^(n+2) est vraie
Hypothèse de recurrence:
Est ce que P(n+1) vraie?
Comparons P(n+1):
5^((n+1)+2) >= 4((n+1)+2)+3((n+1)+2)
5^(n+3) >= 4(n+3)+3(n+3)
5^(n+3) >= 4x4(n+2)+3x3(n+2)

Mais 5^(n+3) est égal a 5^(n+2) x 5 donc on aurait
5^(n+2) x 5>= 5x (4^(n+2)+3^(n+2))
5^(n+2) x 5>= 5x 4^(n+2)+ 5x 3^(n+2) >= 4x4(n+2)+3x3(n+2)

Donc on a bien 5^((n+1)+2) >= 4((n+1)+2)+3((n+1)+2)
Donc par P(n) vraie j'ai P(n+1) vraie.
P(n) est vraie pour tout n de N
Donc 5^(n+2) >= 4^(n+2)+3^(n+2)

Voilà pour le 1er mais je suis pas trop sur.

Ensuite le 2e ^^:
U est la suite définie par U(0)=0 et par tout entier naturel n ,
U(n+1) = (racine carrée de(Un +1))

Démontrer par récurrence que tout n de N:
0=< U(n) =< (1+V5) / 2

V = racine carrée
.
Soit P la proprité défini pour tout n de N c'est a dire
0=< U(n) =< (1+V5) / 2

alors j'ai fait avec le méme plan que le 1er exercice donc pour raccourcir j'ai P(0):
U(0) = 0 et comme la fonction racine carrée est croissante de [0; + OO[ alors la suite U(n) est croissante sur ce même intervalle.

U(0) vraie donc 0=< U(n)

Après je suppose P(n) blabla bla
0=< U(n) =< (1+V5) / 2
j'ai donc: 0=< V(U(n-1)+1) =< (1+V5) / 2
Hypothese de recurrence
J'ai obtenu pour U(n) = V(U(n-1)+1) car U(n+1) = V(U(n)+1)

donc U(n+1)= V((V(U(n-1)+1)) + 1)

Donc avec P(n+1) j'ai donc

0=< V((V(U(n-1)+1)) + 1) =< V(((1+V5) / 2)+1)

0=< V((V(U(n-1)+1)) + 1) =< V((3+V5) / 2)

Comme V((3+V5) / 2) =< (1+V5) / 2
Alors 0=< U(n+1) =< (1+V5) / 2

Par P(n) vraie j'ai P(n+1) vraie

Donc voilà merci de votre aide
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[invite3df1c846]

Salut !!

Pour ta première démo, elle est juste, seules deux trois remarques à faire :

- Pour aucun problème, inutile de le faire avec l'indice 1. La relation à démontrer est que quelque chose soit supérieur OU EGAL à autre chose. Ici c'est chose faite on a quelque chose égale à une autre. La relation est vérifiée pour le rang 0, tu peux donc passer au rang n.

- Pour l'hérédité, je pense pas que la meilleure solution soit de tester comme tu le fais. C'est pas très rigoureux et ça sert pas à grand chose par la suite. Le mieux est de partir de ce que tu supposes comme vrai (donc vrai) et que tu multiplies de part et d'autre de l'égalité par 5 comme tu l'as fais !! Tu factorises pour arriver à l'expression de à gauche de ton inégalité et tu démontres ensuite que la partie droite de ton inégalité est supérieure à la partie droite de l'expression de comme tu l'as fais dans ton message !!!

Je jette un coup d'oeil à la deuxième et je te dis !!

[invite3df1c846]

Oui donc pour la seconde j'ai pas suivi jusqu'au bout le raisonnement mais le mieux pour la récurence est de partir de l'hypothèse de départ (Pn) comme tu l'as fait, et ensuite d'essayer de passer à P(n+1) en multipliant, ajoutant, élevant au carré,...

Ici ça s'y prête plutôt bien puisqu'on te donne l'expression de U(n+1).
Donc, pour ma part, je pense qu'il est préférable d'ajouter et "raciner"(^^) comme il se doit pour arriver avec U(n+1) encadré de deux réels. Ensuite, pour arriver à P(n+1), il te reste plus qu'à (facile à dire) prouver que ces deux réels sont respectivement plus grands et plus petits que les bornes extrêmes de ton inégalité de départ...

Bref, par exemple tu arrives à a <= U(n+1) <= b, tu dois ensuite démontrer que 0 <= a et que b <= (1+V5)/2

Bon après je sais pas si c'est la meilleure solution mais ça me semble correct et plutôt rigoureux.

Cordialement,
Jerem

[inviteec016997]

bonjour je viens d'entrer en terminale s et j'ai un problème concernant la dernière question d'un exercice :


on considère le complexe
j= 1/2 + i(racine carré de 3 / 2)

1°) calculer j^2 puis j^3 et enfin 1+j+j^2

j'ai déjà répondu
mais la dernière question je n'y arrive pas

démontrer par récurrence que : (1+j)^(2n+1) = -j^(n+2)

merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Serait intéressant de voir combien tu as trouvé pour j^3 et pour 1 + j + j² parce que si tu t'es trompé ça va être problématique.

[inviteec016997]

ok je te donne mes résultats :

j^2 = ( -1-i racine carré de 3 )/( 2)

j^3 = 1

1 + j + j^2 = 0


merci de me prévenir en cas de fautes

[inviteec016997]

ok je te donne mes résultats :

j^2 = ( -1-i racine carré de 3 )/( 2)

j^3 = 1

1 + j + j^2 = 0


merci de me prévenir en cas de fautes

de plus j = -1/2 + i (racine carré de 3 ) / 2