DM sur la récurrence.

[invite3a2939b5]

Bonjour.
Comme beaucoup d'entre vous, j'ai aussi eu droit a un DM a rendre prochainement. Il porte sur la récurrence, le petit probleme c'est que je ne vois absolument pas comment résoudre ca même si je connais le raisonnement a suivre.

Je dois démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul :
1² + 2² + 3² + ... + n² = [n(n+1)(2n+1)]/6

Je sais que je dois d'abord montrer que cela est vrai pour n=0 mais le fait que ca aille jusque n me bloque alors si quelqu'un peut m'expliquer quel chemin suivre, je lui en serait très reconnaissante ..
Merci d'avance.
-----

[invite43ade439]

Bonjour,

j'ai exactement le même exercice. (ici : http://forums.futura-sciences.com/thread244764.html)

L'initialisation est très simple.

Tu prends pour n =1.
Tu remplace n par 1 dans la première partie de l'égalité. Tu trouve le résultat.
Tu fais apreil pour la deuxième partie et normalement tu trouves le même résultat.
Si tu n'y arrive pas je te le ferai

Pour la suite (la démonstration pure) je suis également bloqué.

[invite3a2939b5]

Ah oui on a effectivement le même exercice
Pour l'initialisation j'ai aucun probleme avec la deuxieme partie de l'égalité. Mais j'arrive pas a remplacer n=1 dans la premiere a cause des "..." je ne sais absolument plus comment faire..

[Bruno]

Il ne faut pas commencer par puisque l'énoncé parle d'entiers naturels non nuls, donc on commence par .

Vrai pour n=1 ?



--> C'est vrai.

Vrai pour n=1, donc vrai pour n=2 ?



--> C'est vrai.

Généralisation : vrai pour n=p, donc pour vrai pour n=p+1 ?

n=p :



--> C'est vrai, puisqu'on l'a vérifié pour n=p

n=p+1 :



--> Vrai ? Puisqu'on sait que c'est vrai pour n=p alors on peut utiliser le résultat du dessus dans notre calcul :



Après on met en évidence le et on démontre l'égalité.

En gros, on utilise à chaque fois le résultat du "n" précédent pour l'inclure dans le développement du "n+1" suivant et démontrer l'égalité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite43ade439]

Je suis bloqué exactement à cette étape.

Je ne sais pas si je dois multiplié (p+1)² par 6 pour pouvoir 'intégré a la premiere partie de l'égalité ?

[Bruno]

Je suis bloqué exactement à cette étape.

Je ne sais pas si je dois multiplié (p+1)² par 6 pour pouvoir 'intégré a la premiere partie de l'égalité ?

J'avoue que c'est pas très clair, je vais recommencer cette partie.

On avait donc à démontrer :



En sachant que la relation est vraie pour . On remplace donc la partie du membre de gauche car on connait son résultat :



On met tout sous le même dénominateur :



On simplifie :



On met en évidence le :



On simplifie par :



Et en développant on arrive à .