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[Gohan.]

Bonsoir à tous, je rencontre en ce moment un petit soucis à terminer mon exercice c'est pourquoi j'aimerai solliciter votre aide.

Soit f la fonction définie sur [0;+∞[ par f(x) = exp(2x) - 1. Pour tout n∈ℕ* on pose :
In = ∫ (de 0 à Ln√2) de [√f(x)]ⁿ dx ; I₀ = Ln√2

1.a Montrer que f'(x) = 2 [ 1 + f(x) ]. Fait
b. En déduire In + In₊₂ = 1/(n+2). Fait
c. Montrer que lim(+∞) In = 0. Fait
2. Pour tout n∈ℕ*, on pose Un = I(n+4) - In. Les n sont en indice.
Montrer que n∈ℕ Un = 1/(n+4) - 1/(n+2). Fait
En déduire l'expression de U(4n+1) en fonction de n.

Là je trouve Un = 1/(4n+5) - 1/(4n+3)

B. Calucler ∑ n=0 à (p+1) de U(4n+1) en fonction de I(4p+5) et de I₁.
Là je bloque carrément. Merci de m'aider.
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[gg0]

Bonjour.

C'est une somme télescopique. Si tu ne connais pas, écrit la somme sans le terme ∑, en explicitant les 3 ou 4 premiers termes et les derniers (n=p-1, p, p+1).

Bon travail !

[Gohan.]

Bonjour, j'ai éclaté la somme mais je ne vois pas vraiment quoi simplifier. Voilà ce que j'obtient:

-1/3 + 1/5 - 1/7 + ... + 1/(4p+5) - 1/(4p+3) + 1/(4n+9) - 1/(4n+7)

J'ai tenté d'introduire d'autres termes dans l'expression générale 1/(4n+5)-1/(4n+3) mais pas grand chose. Ici je vois pas aussi pourquoi vous parlez de somme télescopique car les entiers au dénominateurs ne suivent pas suivant la valeur de n. C'est à dire que 4n+5 n'est pas égal à 4(n+1)+3 ou vice versa. Merci de m'aider un peu.

[ansset]

b. En déduire In + In₊₂ = 1/(n+2). Fait
Montrer que n∈ℕ Un = 1/(n+4) - 1/(n+2). Fait
.......
B. Calucler ∑ n=0 à (p+1) de U(4n+1) en fonction de I(4p+5) et de I₁.

bjr
tu peux en déduire
U(n)=I(n+2)+I(n+4)-I(n)-I(n+2) soit
U(n)=I(n+4)-I(n) d'ou
U(4k+1)=I(4k+5)-I(4k+1)
si on regarde les premiers termes
U(0)=I(5)-I(1)
U(1)=I(9)-I(5)
U(2)=I(13)-I(9) ( avec 13 = 4*2+5 )
la somme se simplifie non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gohan.]

Merci beaucoup j'ai même terminé l'exercice.