Merci de m'aider à comprendre !!! exp(x) = 1 + ax avec a>1 ???

[inviteb8092a55]

Il me paraissait évident que l'équation exp(x) = 1 + ax admettait comme solution unique x = 0 pour a =1, mais aussi une deuxième solution pour tout a>1.
Ayant besoin des valeurs de (x) solutions en fonction de (a), j'ai utilisé Excel et n'ai eu aucun problème pour tout a>2,
mais en me rapprochant de a = 1 j'ai eu la surprise de voir que la solution (x) tendait vers la limite 0,012564312
au lieu de tendre vers 0. J'ai baissé (a) jusqu'à 1,0000001 mais ne suis pas allé plus bas (la limite était stable à 9 décimales)
car j'ai soudain suspecté que cette pseudo absence de deuxième solution dans l'intervalle ]0;0,012564312[ était peut-être due à la méthode d'évaluation de exp(x)
par ce tableur. Géométriquement parlant, il n'y a en effet aucune raison pour que l'arc représenté par exp(x) entre x=0 et x=0,01 par exemple soit confondu
avec la corde de la droite 1 + ax entre ces deux valeurs de (x).
Me faudrait-il passer en double précision, et cela est-il possible avec Excel ?
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[jacknicklaus]

Il me paraissait évident que l'équation exp(x) = 1 + ax admettait comme solution unique x = 0 pour a =1

oui.

D'où l'intérêt de se méfier de certains calculs approchés réalisés avec un tableur.

Pour des calculs un peu plus fiables, tu as des logiciels de calcul formel gratuits, par exemple Maxima. Même avec ce meilleur outil, la méfiance reste de mise, et rien ne remplace une analyse mathématique de la situation.

[inviteb8092a55]

Merci Jack pour le tuyau Maxima.
Quant à l'analyse mathématique, c'est bien celle à laquelle je me suis livré avec l'histoire de l'arc et de la corde...
Mais si une telle analyse permet de dévoiler un bug de l'auxiliaire de calcul numérique, elle ne permet pas de
faire les calculs en question... Or j'ai besoin de ces derniers pour un article que je suis en train de rédiger.
Olivier

[inviteb8092a55]

Jack

J'ai téléchargé Maxima sur ton conseil, mais je n'ai pas la patience de lire le User Guide, alors pourrais-tu me rendre le service
de me dire ce que Maxima donne comme solutions (autre que 0) pour exp(x)=1+2*x (ça devrait être 1.9038 environ) et 1+1.001*x
(c'est à partir de là que Excel commence à déc....er).

Olivier

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23cdddab]

Sinon, il y a WolframAlpha pour faire des calculs en ligne :

https://www.wolframalpha.com/input/?...%3D+1%2B1.001x

[gg0]

Bizarre ton 1.9038 : exp(1.9038) est de l'ordre de 6,7, 1+2*1.9038 de l'ordre de 4,8. Maple trouve plutôt environ 1,256.

Cordialement.

NB : Les solutions peuvent s'exprimer avec la fonction W de Lambert : pour exp(x)=1+ax avec a>1 :

[invite51d17075]

en faisant une suite convergente type newton soit x(n+1)=xn-f(xn)/f'(xn) ( on peut le faire sous excel )
et en prenant un x0 adapté ( avec f(xo) >0 ) , on trouve la deuxième solution diff de 0 à 10^-8 prèt
même pour un a proche de 1.
avec bien sur f(x)=e(x)-ax-1

[invite51d17075]

précision :
suffit de prendre un xo avec f'(x0)>0 soit x0> ln(a)

[inviteb8092a55]

Désolé tous !!! je vous remercie pour votre gentillesse et vos aides... c'est moi qui ai fait le crétin dès le départ... une erreur idiote en chargeant mon tableur...
En fait je devais étudier exp(x) = 1 + (1+a)x avec a>0, et non pas a>1 !!!
Croyez bien que je suis hyper confus de vous avoir entrainés dans une discussion qui n'avait pas lieu d'être.
Merci de bien vouloir me pardonner, en m'accordant le "bénéfice" de l'âge - 67 ans - la sénilité me rattrape au galop !
Olivier
PS Mais vous m'en avez appris, des choses intéressantes, en particulier la fonction de Lambert de ggo !!! Comme j'avais besoin de "sortir" la courbe reliant
x-solution à (a) pour un papier... je vais pouvoir crâner tout mon saoul et épater la galerie, alors que je ne suis qu'un vieux c...ard.

[gg0]

Heu ...

1+(1+a)x=1+bx avec b=1+a et si a>0, alors b>1. Donc c'est bien le problème de départ avec d'autres notations.

J'aurai du mal à t'accorder le bénéfice de l'âge : on a le même !

Cordialement.