Démonstration sur les nombres complexes
Bonjour,
J'ai rencontré des problèmes pour démontrer la thèse suivante:
"Si Zk est une racine nième de 1, alors le conjugué de Zk est aussi une racine nième de 1"
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît? J'ai tout essayé de ma part, mais en vain.
Tu n'as pas dû chercher longtemps, alors ! D'autant que tu poses le même genre de question (sur un sujet proche) sur un autre forum.
Un exercice, ça se cherche d'abord seul, ça permet d'apprendre et de devenir bon. Demander aux autres ce qui est facile à trouver est gaspiller ton intelligence.
L'intelligence ne s'use pas quand on s'en sert.
J'ai cherché par moi-même d'abord, mais plus je cherchais, plus je m'embrouillais. Comme j'ai besoin de la réponse, j'ai dû trouver une manière alternative: demander aux personnes sur Internet, afin de trouver une réponse et comprendre pourquoi je n'arrivais pas à la trouver par moi-même.
Ce n'est pas exactement la même formulation, mais bon.
As tu essayé d'écrire ta racine nième sous la forme exponentielle ?
La forme exponentielle de 1 c'est e puissance de 0. e puissance de 0 nous donne 1. Donc cela veut dire que j'ai trouvé la solution?
non, un nb complexe peut s'écrire sous une forme exponentielle faisant intervenir le i.
as tu vu cela ?
Non, je ne pense pas avoir vu ça. J'ai vu la forme trigonométrique sinon.
OK, alors supposons que zn soit une racine nième de 1 ;
on a zn^n=1 avec
zn=cos(a)+isin(a)
que vaut le conjugué de zn ? que j'appelle z'n
on veut montrer que z'n^n=1
or, zn^n=1
donc z'n^n=(z'n^n)(zn^n)=(zn*z'n)^n
je te laisse finir.
je l'ai écrit directement sous cette forme car bien sur |zn|=1, que j'ai oublié de te faire dire/démontrer avant.Envoyé par ansset
ps : le n ici est en indice (le même que pour le k de ton énoncé.)
Je pense avoir trouvé:
Le module est 1, l'argument est 0
zn = cos(0) + isin(0)
z'n = cos(0) - isin(0)
(zn*z'n)^n = ( (cos(0) + isin(0) * (cos(0) - isin(0) )^n = ( cos²(0) - cos(0) * isin(0) + cos (0) * isin(0) -isin²(0) )^n = (cos²(0) - isin²(0))^n
Donc (1 - i*0)^n = 1 ?
non, l'arg=0 est une des n solutions pour les racine nième.
réécrit ta formule (zn*z'n)^n en gardant l'argument et sans erreur de calcul ( par exemple i²=-1 )
Heu ... ce sont le module et un argument de 1 que tu as calculés (longuement, alors que c'est évident).
Comme tu ne sais pas (*) quel sont le module et un argument de zk, pose zk=r(cos(t)+i sin(t)) (module r, argument t), puis pars de zk^n=1 pour trouver r et t.
Cordialement.
(*) bizarre quand même, tu fais un exercice sur les racines n-ièmes de complexes sans savoir ce que c'est ni la notation exponentielle ? Pourquoi ?
(cos²(a) - isin²(a))^n = (cos²(a) + sin²(a))^n = 1^n = 1.
Enfin! Je vous remercie beaucoup! Je me demande ce que j'allais faire sinon
tel qu'écrit, c'est faux! ou alors il t a des fautes de frappes.
et comment arrives tu là ?
Ah oui c'est vrai, je me suis trompé. Je suis très embrouillé, excusez-moi.
Peut-être que j'ai tout oublié pendant les vacances.
sin² x + cos² x = 1 ?
erreur de lecture
Ansset, je te laisse faire.
Dernière modification par gg0 ; 17/04/2017 à 20h53.
récapitule STP les équations successives.
Si on distribue (cos(a)+isin(a))(cos(a)-isin(a))^n ça donne (cos(a)*cos(a) - cos(a)*isin(a) + isin(a)*cos(a) - isin(a)*isin(a)). On se debarasse de ce qui est en rouge, il nous reste cos(a)*cos(a) - isin(a)*isin(a). C'est juste, non?
On sait que cos(a)*cos(a) donne cos²(a) (là je suis sûr) et isin(a)*isin(a) nous donne i²*sin²(a). i² = -1 donc cos²(a) - -1*sin²(a). Cela nous donne cos²(a)+sin²(a). C'est pour ça que je ne vois pas où je me trompe
oui,
mais tu sais pourtant sans développer que (A+B)(A-B)=A²-B² non ??
j'espère aussi que tu n'as pas oublié avant le résultat final !
-de commencer par montrer que le module valait 1
-de rappeler la démarche plus haut ( et surtout que tu la comprends )
z'k^n=(z'k^n)*1=(z'k^n)*(zk^n) =(zk*z'k)^n
( j'ai remis des k , pour être dans la formulation de l'énoncé )
Je dois prouver que z'k est égal à racine nième de 1 si zk est égal à racine nième de 1
Je vous remercie quand même pour votre aide, mais je sais pas comment trouver la réponse. Vous m'avez guidé vers la solution comme vous avez pu, mais apparemment je ne comprends pas. Où est-ce que je dois chercher la solution maintenant?
tu as tous les éléments pour récapituler , il n'y a plus rien à chercher, mais dérouler la démo dans l'ordre.
car tu l'a, mais ce qui m'étonne, c'est que tu sembles ne pas le voir.
est ce que tu comprend l'équation de mon post #20.?????
car c'est bien le calcul que tu fais à la fin.
si ce n'est pas le cas, on peut détailler d'avantage, ou présenter les choses autrement.
