aire ,

[fartassette]

Bonjour

je me pose des questions sur les calculs d'aire sous la courbe.Peut on interpréter ceci comme une sorte de progression équidistante ou un genre de suite infinie ?

merci,
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[ansset]

bonjour, je suppose que tu fais référence à l'intégrale de la fonction , en rapport avec l'aire sous la courbe de la fonction sur un segment.
alors oui, si la fonction est bornée et continue "presque partout", l'aire sous la courbe peut être d'abord approchée à partir de la somme de n petit rectangles des valeurs que la fonction prend à intervalle régulier.
plus on multiplie le nb de rectangles , plus on affine la mesure.
au final en faisant tendre n vers l'infini on transforme cette intégrale en suite convergente d'une infinité de terme :
c'est l'intégrale de Riemann.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_de_Riemann.

celle a ensuite été généralisée par Lebesgue.

[fartassette]

Bonjour,


merci, pour cette réponse rapide.


En apportant la condition de continuité et du bornage de ,Riemann a approximer l'aire sous la courbe en construisant n rectangle à l’intérieur de la borne pour en étudier en réalité une suite convergente.

Maintenant pour aller plus loin, je sais que ceci converge aussi vers un réel, suffit de considérer une somme de suite et on aboutit à une limite finie,pourtant ma borne et non fermé...

merci, d'avance

[ansset]

bien sur que l'intégrale existe, mais ici on ne peut pas utiliser la somme de Riemann pour la calculer:
rappel , dans sa formulation usuelle, l'intégrale de f ( de a à b ) est la limite de la somme

Or ici le b vaut +l'inf, donc l'intégrale n'est pas "Riemann intégrable", c-a-d pas intégrable avec cette méthode.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

Maintenant pour aller plus loin, je sais que ceci converge aussi vers un réel, suffit de considérer une somme de suite et on aboutit à une limite finie,pourtant ma borne et non fermé...

quelle somme de suite ici ?
la fonction a une primitive évidente, il suffit de l'utiliser.

[fartassette]

merci, pour la formule et pour la subtilité "Riemann intégrable"

La primitive de cette fonction est immédiate, ce qui me dérange c'est sa borne qui est très élevée de plus les subdivisions en rectangle ne sert strictement à rien car comme vous l'avez explicité ce n'est pas "Riemann intégrable".

Sauf erreur,
Dans mon esprit je vois alors une sorte de somme de suite géométrique de raison q , tends vers une limite finie,ce qui revient à écrire que l'intégrale citée est convergente.

merci,

[gg0]

Bonjour.

Pour
,
il ne s'agit pas de limite de suite, mais de limite de fonction :


Tes expressions du style "je la vois comme ..." m'inquiètent fortement, car de nombreuses situations utilisent des intégrales comme moyen de calcul, sans que le lien existe avec une question d'aire, ou que la définition en termes de limite ait une utilité. Ce qui est très général, c'est qu'une intégrale associe à une fonction et à un intervalle un nombre. Il y a par exemple des notions d'intégrales purement calculatoires, pour les fonctions continues par exemple, qui ont toujours des primitives :

où g est une primitive particulière de f. par d'aire, pas de somme, pas de limite, juste un bête calcul.

Cordialement.

[fartassette]

merci, ggo.


Oui effectivement vous avez raison,ce n'est pas très rigoureux de prendre autant de liberté avec tous ces objets mathématiques.Tous compte fait,mon intuition portant sur la suite géométrique s'est révélé fausse.En tous cas la méthode que vous cité, ggo m'oriente vers Cette intégrale converge vers 1 qui n'est rien d'autre que sa surface prise entre c'est bien sa?

Merci,

[ansset]

ben oui,
mais j'ai interprété votre premier post ( qui n'était pas explicite ) directement comme une analogie avec l'approche de Riemann, sans la formuler.

[fartassette]

Bonjour, anset


Au départ, j'ai voulue donner un sens géométrique au calcul d'aire sous la courbe,vous avez bien fait de m'orienter vers l'intégrale de Riemann qui en dit long sur le sujet.D'ailleurs ce n'est nullement un hasard de rendre l'intervalle borné,et d'imposer la continuité.Riemann a pressentit à coup sure la convergence vers un réel,. De façon maladroite, j'ai voulue appliquer ces travaux sur un intervalle ouvert,pour tirer mes propres conclusion.

merci à vous deux , ces notions me seront profitable ds quelques années.