système d'équation linéaire

[midorima]

bonjour j'ai un problème avec un exercice
l'énoncé :
résoudre le système d'équation suivant
a+b+c=0
a³+b³+c³=18
a⁷+b⁷+c⁷=2058

pour les deux première ca ne me gène pas beaucoup mais c'est le 7eme degrés de la 3eme qui
me dérange je n'arrive a rien faire avec lui
j'arrive u fait que abc=6
et que xy(x+y)=-6
mais sinon j'auraisbesoin d'aide surtout en se qui concerne le 7eme degré
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[Resartus]

Bonjour,
La somme des puissance n des racines d'un polynome est ce qu'on appelle une somme de newton. Elles peuvent s'exprimer en fonction
des polynomes symétriques des racines, qui sont les coefficients du polynome, mais les formules sont très laborieuses à faire à la main

Ici, c'est le cas particulier d'un polynome du 3ème degré où la somme des racines est nulle : on cherche donc les racines du polynome x^3 + px+q, et les formules des sommes de newton sont plus simples (mais il est encore plus facile de les trouver dans des tables :voir ceci par exemple :
http://alain.pichereau.pagesperso-or...fermat.html#II

S1 =0 (par construction)
S3= -3q (q, c'est -abc, ce que vous avez déjà retrouvé)
S7= -7p²q

Cela donnera p=ab+ac+bc . Ensuite le polynome a des racines évidentes

[SULREN]

Bonsoir,
Je ne peux aider en rien ......mais je dis "bravo d'avoir trouvé qu'il faut abc=6".
Et les trois valeurs -2, -1, 3 (permutables bien sûr sur a ,b et c) sont racines des trois équations.

[midorima]

Bonjour merci pour ta réponse mais est ce que tu pourrais utiliser un language plus simple car je n'est pas trop compris et dans le site
que tu m'a mis je n'ai pas compris le cours désolé
ne reformulation avec language simple serais la bien venue (je m'excuse pour mon incompréhension) Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Rebonjour,

Désolé, je n'avais pas fait attention qu'on était sur le forum Lycée.

Si on traite a, b ,c comme des inconnues, elles sont solution d'une équation polynomiale de la forme (x-a)(x-b)(x-c)=0
Quand on développe, cela donne x^3 -(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x -abc=0

Comme on sait que a+b+c=0, l'équation se simplifie en x^3 +(ab+ac+bc)x -abc=0.

On ne dispose pas de abc ni de ab+ac+bc, mais on dispose de a^3+b^3+c^3 et de a^7+b^7+c^7

Or, on sait exprimer toute somme des puissances (dite somme de newton) à partir de ces deux éléments abc et ab+ac+bc, mais c'est de plus en plus compliqué quand la puissance augmente :

Par exemple, il n'est pas trop dur de remarquer que a^2+b^2+c^2 vaut -2(ab+ac+bc)

Ce que tu as réussi n'était déjà pas si facile : s'apercevoir que a^3+b^3+c^3 vaut 3abc

Et on ne peut pas intuiter directement que a^7+b^7+c^7 vaut 7abc(ab+ac+bc)². Il faut procéder par étapes, à partir des puissances plus faibles, mais ce n'est franchement pas une partie de plaisir....

Par contre, vérifier que la formule est juste n'est pas trop dur...

A partir de là, on peut donc retrouver les deux valeurs abc =18/3=6 et (ab+ac+bc)=racine(2058/7/6)=plus ou moins 7

Les triplets a, b, c cherchés seront :
1) soit les racines de l'équation x^3-7*x-6, qui sont évidentes (sulren les a données)
2) soit celles de l'équation x^3+7*x-6. Mais là, un tracé de la courbe montre que cette équation n'a qu'une seule racine réelle, les deux autres étant imaginaires, ce qui je suppose n'est pas autorisé dans l'énoncé?

[midorima]

Bonjour
merci maintenant c'est plus clair
il reste un détail
est ce qu'il y a une méthode spécifique pour écrire les sommes de puissance de a b et c avec abc et ab+bc+ca
un cours en l'occurrence ou alors cela relève de savoir comment se comporter avec les phrases algébrique ?

[Resartus]

Bonjour,
Pour le cas général sommes de newton <-> polynômes symétriques, voir ceci par exemple :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A9s_de_Newton
qui donne des formules de récurrence qu'on peut appliquer au cas plus simple à seulement trois racines dont la somme est nulle.

Mais on peut aussi ne traiter que ce cas particulier, en constatant que [a^(n-1)+b^(n-1)+c^(n-1)](a+b+c), qui vaut zero, peut se développer en a^n+b^n+c^n + (ab+bc+ac)*[a^(n-2)+b^(n-2)+c^(n-2)] -abc*[a^(n-3)+b^(n-3)+c^(n-3)]
On en déduit que Sn=-pS(n-2)-qS(n-3)
A partir de S0=3 , S1=0, et S2= -2p, on peut ainsi monter relativement rapidement jusqu'à S7

[midorima]

Finalement j'y suis parvenu sans la somme de newton en
multipliant d'abord (a+b+c)(a2+b2+c2)
puis a chaque j'augmentais les puissances
je suis arrivé aux 2 équations :
alors pour x3-7x-6 en factorisant j'ai trouvé (x+1)(x+2)(x+3) ce qui est juste donc les solutions
sont -1, -2, 3 (est ce qu'il y aune méthode plus simple comme en utilisant delta pour le seond degrés
car se n'est pas évident de factoriser avec 3eme degrés)
mais pour x3+7x-6 je n'arrive pas a factoriser

[SULREN]

Bonsoir,
Tout est bien qui finit bien!
Petite erreur de frappe : c’est (x+1)(x+2) (x-3)

mais pour x3+7x-6 je n'arrive pas à factoriser

C’est sans intérêt car Resartus a dit que cette équation n’avait qu’une racine réelle et il vous en faudrait 3.
En factorisant vous arriveriez à quelque chose d'indigeste comme :
(x - 0,7874….)(X^2 + 0,7874…x + 7,6200...)

[midorima]

Sulren
oui je sais que c'est sans intérêts
cependant je voudrais bien savoir come tu as trouvé les facteurs ( facultatif et n'a pas de relation avec l'exercice)
juste pour avoir une idée si possible

[SULREN]

Bonjour Midorima,

Je retire le terme idiot : « c’est sans intérêt » que j’ai employé.
La vie n’est pas faite que de recherche de rentabilité ou d’efficacité et la simple curiosité y a sa place.
Je voulais juste rappeler les propos de Resartus sur les racines ce cette équation, mais j’écris trop vite.

Quant à la façon de résoudre les équations du 3eme degré, il y a deux approches :
- La méthode formelle, analytique :
C’est celle que doivent pratiquer les étudiants car leur but est d’apprendre les mathématiques et surtout d’exercer leur esprit.
On en trouve des exemples sur internet comme ici :
https://www.lucaswillems.com/fr/arti...e?cache=update

-La méthode numérique :
Celle des paresseux ou des vieux croutons comme moi qui veulent libérer du temps sur certains secteurs pour orienter leur curiosité vers d’autres secteurs. J’ai préféré la méthode numérique pour la résolution de cette équation du 3eme dégré, mais j’ai étudié les sommes de Newton que nous a indiquées Resartus.
Les méthodes numériques sont disponibles en ligne, et probablement sur des outils comme Scilab, voire Excel, mais j’ai préféré créer moi-même la mienne pour exercer mon esprit (pas si paresseux que cela ).

[Resartus]

Bonjour,
Quelques infos générales à avoir en tête à ton niveau :

On sait résoudre l'équation générale du 3ème degré, en passant par une équation intermédiaire du second degré (cf le lien fourni par sulren)

Les calculs sont évidemment laborieux, et ce qui a surtout surpris les mathématiciens à l'époque, c'est que c'est quand l'équation du second degré n'a pas de racine réelle que l'équation du 3ème en a trois réelles. Il fallait inventer des racines de nombres négatifs pour manipuler cela. Cela a été les débuts des nombres complexes...

On a trouvé également une méthode pour résoudre l'équation générale du 4ème degré, en passant par une équation intermédiaire du troisième degré

Mais on n'arrivait pas à trouver de méthode pour le cinquième degré.

Il a fallu attendre Galois au 19ème siècle pour comprendre pourquoi, et démontrer qu'il ne peut pas exister de méthode de résolution analytique de l'équation générale, au delà du 4ème degré.

Ce qui n'empêche pas qu'il puisse exister des cas particuliers, où la résolution est possible. La théorie de Galois permet également de traiter ces cas particuliers.

Mais c'est d'un niveau technique très élevé (abordé en France en L3 de maths)

Ceci dit, quand on a une équation, (et sous réserve qu'elle ait des solution réelles), il n'est pas interdit de chercher des racines évidentes : on peut essayer les entiers ou les fractions simples qui divisent le terme constant.
Ou bien, si on a un outil de résolution numérique, il donnera les solutions avec une bonne précision, et si c'est une fraction simple, cela se verra....