Bonjour,
Je suis sur un cours des fonctions exponentielles et j'ai du mal à comprendre cette fonction sur un point: Qu'elle est son expression ?
Si par exemple je devais tracer sa courbe, comme on faisait parfois en classe de 3ème, en calculant des images, en remplaçant "x" dans l'expression de la fonction f, par le nombre dont on voulait connaitre l'image, les "x" représenteraient le "e" qu'on élèverait à la puissance "x" ?
Merci,
Cordialement.
Bonjour.
La fonction exponentielle n'a pas d'expression par un calcul à partir de fonctions simples (*). Mais sa définition permet de l'utiliser, et aussi de calculer des valeurs approchées de ses images (on ne fait pas beaucoup mieux avec la fonction racine carrée ou avec les fonctions trigonométriques). Donc le point d'abscisse x de la courbe de exp a pour ordonnée exp(x), comme le point d'abscisse x de la courbe de cos a pour ordonnée cos(x).
Si tu as un cours, il te dit l'essentiel de ce qu'on fait, sauf sans doute comment ta calculette trouve les valeurs approchées (probablement avec l'algorithme CORDIC).
A noter : la fonction est exp, le fait qu'on puisse poser exp(x)=e^x est une conséquence de la définition de a^x pour a>0 et x réel quelconque, définition qui utilise justement la fonction exp et ses propriétés de base. j'espère que ton cours n'utilise pas la notation e^x dès le départ, ce qui rend la compréhension difficile.
Cordialement.
(*) si elle en avait, son étude perdrait beaucoup de son intérêt.
Ok, merci pour ces précisions.
Voici le tout début du cours:
Théorème 1: Il existe une et une seule fonction f définie et dérivable sur R telle que : f ' = f et f(0)=1.
L’existence d’une telle fonction est admise.
Démontrons qu’il existe une seule fonction vérifiant ces conditions.
Pour cela, on montre d’abord qu’une telle fonction ne peut pas s’annuler.
Soit donc f une fonction telle que f ' = f et f (0) = 1.
On considère la fonction h définie sur » par h(x)=f(x)×f(−x).La fonction h est le produit de deux fonctions dérivables sur » donc h est aussi dérivable sur
R et, pour tout réel x, on a : h'(x)=f'(x)×f(−x)+f(x)×(−f'(−x ))
=f'(x)×f(−x)−f(x)×f'(−x).
Comme f ' = f on obtient : h '( x) = f (x) × f (−x) − f (x) × f (−x) = 0.
La dérivée de la fonction h est nulle pour tout réel x donc la fonction h est une fonction constante sur R.
Pour déterminer sa valeur, on utilise la condition f (0) = 1 ce qui donne : Pour tout réel x, h(x)=h(0)=f(0)×f(−0)=1.
Donc, pour tout réel x, le produit f(x)×f(−x) est égal à 1, il ne s’annule pas donc f ( x ) n’est jamais nul.
Pour montrer l’unicité de la fonction f nous allons considérer deux fonctions, f et g, vérifiant les conditions f ' = f et f (0) = 1, et nous allons montrer que ces deux fonctions sont nécessairement égales. On définit sur R la fonction k en posant k(x )= g(x)/f(x), ce qui est possible f(x)puisque la fonction f ne s’annule pas). La fonction k est dérivable sur R et on a : k'=g'f−gf'/f*f =gf−gf/f*f=0 car f'=f et g'=g.
La fonction k est donc constante sur R, et, pour tout réel x, on a :k(x)=k(0)=g(0)/f(0)=1/1=1.
donc, pour tout réel x, g(x)=1, soit f(x)/g(x). Les deux fonctions f et g sont f(x)
donc égales ce qui prouve l’unicité de la fonction du théorème.
Voilà ce que dit cette 1ère partie de cours.
Effectivement,
pour l'instant c'est un peu court pour pouvoir calculer exp(2). Et rien sur une expression en notation puissance. Mais peut-être est-ce dans la suite. Quand est-il donné un nom ou une notation à cette fonction ?
PS : Bel effort d'écriture pour recopier le début du cours
Merci à vous.
Je vais me concentrer sur la suite du cours, et je reviendrai au besoin.
Cordialement.
