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Détermination d'une fonction exponentielle décroissante en fonction de sa courbe



  1. #1
    Julio15

    Détermination d'une fonction exponentielle décroissante en fonction de sa courbe


    ------

    Bonjours, dans le cadre d'un PPE, épreuve de bac au lycée, je dois déterminer la fonction d'une courbe que j'ai déterminée expérimentalement (voir ci-joint). Comme vous le constatez, c'est une exponentielle décroissante. On sait qu'une courbe de ce type a une fonction de la forme a*e^(-zX) - b : j'ai déjà commencé à la déterminer en prenant 2 point de la courbe, A(1 ; 7.5) et B(10 ; 0.75). Avec ces coordonnées, je peux donc écrire un système de 2 équations : ae^(-zXA)=YA ==> ae^(-z)=7.5 (équ 1) et ae^(-zXB)=YB ==> ae^(-z*10)=0.75 (équ 2)
    Etape 1 : avec la 1ère équ je peux déterminer une expression de "z" :ae^(-z)=7.5 ==> ln(a) - z = ln(7.5) ==> z= ln(a) - ln(7.5) = ln(a/7.5).
    Etape 2 : ce que je viens d'obtenir, je la met dans la 2ème équ pour obtenir une valeur de a : ae^(-ln(a/7.5)*10)=0.75 ==> ln(a)-ln(a/7.5)*10=ln(0.75) ==> ln(a)-10ln(a) +10ln(7.5)=ln(0.75) ==> 9ln(a)=10ln(7.5)-ln(0.75) ==> ln(a)=(10ln(7.5)-ln(0.75))/9 ==> d'où a=e^((10ln(7.5)-ln(0.75))/9) et on obtient une valeur approché de a=9.7
    Etape 3 : en introduisant la valeur de "a" dans l'équ 1, je peux déterminer "z" : 9.7e^(-z)=7.5 ==> ln(9.7)-z=ln(7.5) ==> z=ln(9.7)-ln(7.5)=ln(9.7/7.5) ==> Z=1/4
    Etape 4 : on obtient donc la fonction : f(X)=9.7e^(-(1/4)*X)

    Mon problème : comme je l'ai dit avant cette courbe à une fonction du type ae^(-z*X) - b, or j'obtiens une fonction du type ae^(-z*X). Ainsi, comment je peux déterminer "b" sachant que la courbe ne coupe pas l'axe des ordonnée ?

    J'espère que vous allez pouvoir m'aider car c'est assez urgent, en vous remerciant d'avance de vos réponses

    -----
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  3. #2
    Julio15

    Re : Détermination d'une fonction exponentielle décroissante en fonction de sa courbe

    Bonjour, je reviens au nouvelle personne ne sait comment faire ?

  4. #3
    cridec

    Re : Détermination d'une fonction exponentielle décroissante en fonction de sa courbe

    Citation Envoyé par Julio15 Voir le message
    Bonjours, dans le cadre d'un PPE, épreuve de bac au lycée, je dois déterminer la fonction d'une courbe que j'ai déterminée expérimentalement (voir ci-joint). Comme vous le constatez, c'est une exponentielle décroissante. On sait qu'une courbe de ce type a une fonction de la forme a*e^(-zX) - b : j'ai déjà commencé à la déterminer en prenant 2 point de la courbe, A(1 ; 7.5) et B(10 ; 0.75). Avec ces coordonnées, je peux donc écrire un système de 2 équations : ae^(-zXA)=YA ==> ae^(-z)=7.5 (équ 1) et ae^(-zXB)=YB ==> ae^(-z*10)=0.75 (équ 2)
    Etape 1 : avec la 1ère équ je peux déterminer une expression de "z" :ae^(-z)=7.5 ==> ln(a) - z = ln(7.5) ==> z= ln(a) - ln(7.5) = ln(a/7.5).
    Etape 2 : ce que je viens d'obtenir, je la met dans la 2ème équ pour obtenir une valeur de a : ae^(-ln(a/7.5)*10)=0.75 ==> ln(a)-ln(a/7.5)*10=ln(0.75) ==> ln(a)-10ln(a) +10ln(7.5)=ln(0.75) ==> 9ln(a)=10ln(7.5)-ln(0.75) ==> ln(a)=(10ln(7.5)-ln(0.75))/9 ==> d'où a=e^((10ln(7.5)-ln(0.75))/9) et on obtient une valeur approché de a=9.7
    Etape 3 : en introduisant la valeur de "a" dans l'équ 1, je peux déterminer "z" : 9.7e^(-z)=7.5 ==> ln(9.7)-z=ln(7.5) ==> z=ln(9.7)-ln(7.5)=ln(9.7/7.5) ==> Z=1/4
    Etape 4 : on obtient donc la fonction : f(X)=9.7e^(-(1/4)*X)

    Mon problème : comme je l'ai dit avant cette courbe à une fonction du type ae^(-z*X) - b, or j'obtiens une fonction du type ae^(-z*X). Ainsi, comment je peux déterminer "b" sachant que la courbe ne coupe pas l'axe des ordonnée ?

    J'espère que vous allez pouvoir m'aider car c'est assez urgent, en vous remerciant d'avance de vos réponses
    En admettant que ton équation de départ est correcte, tu as une équation à 3 inconnues: (a, b, z).
    Tu réalisés un système à 2 équations => impossible d'obtenir un résultat.
    Tu obtiens un résultat dans ton système d'équation car tu as pris dès le départ b= 0 (équation 1 et 2), ce qui semble toutefois juste (par chance) car tu as une asymptote horizontale en Y=0 (x tend vers l'infini, exponentielle tend vers 0, donc y tend vers b donc b = 0 )

    Maintenant, pour une équation à 3 inconnues, il te faut un système à 3 équations pour résoudre.


    PS: J'ai passé mon bac y a 15 ans donc pas sûr de la "rigueur" de ma démonstration.

  5. #4
    Soxix

    Re : Détermination d'une fonction exponentielle décroissante en fonction de sa courbe

    Citation Envoyé par Julio15 Voir le message
    la courbe ne coupe pas l'axe des ordonnée ?
    Uhm... Peut être en pratique mais en théorie c'est possible. Imagine que tu puisses avoir des x négatif, ta courbe coupe alors l'axe des ordonnées.
    Et puis b peut-être égal à 0 non ? (Je ne sais pas je ne suis qu'en première)
    Car on retrouve à peut près les même resultats en utilisant t'as fonction que sur la courbe.

    Edit : Bon ben j'ai pas été assez rapide . Mais le résultat semble donc bien être b = 0. Il ne reste plus qu'à le prouver.
    Dernière modification par Soxix ; 23/05/2012 à 15h57.

  6. #5
    cridec

    Re : Détermination d'une fonction exponentielle décroissante en fonction de sa courbe

    Petite remarque: l'utilisation de l'axe des ordonnées pour trouver b directement n'est valable que pour une équation de droite type y = a*x+b.

    à x=0 (axe des ordonnées), y = a*0 + b => y = b. UNIQUEMENT DANS CE CAS!

    Sinon, tu as des profs de math, physique, SI (ou SVT) qui peuvent t'aider (et qui sont payé pour ça!) et qui t'aideront d'autan plus que tu amèneras comme c'est le cas là, une réflexion sur l'exercice. Si tu vas les voir juste pour demander la réponse au problème, ils t'enverront "promener" et ils auront bien raison.

    Petit rappel: Pour résoudre complètement un système d'équations, il faut un nombre identique d'inconnues et d'équations (différentes/indépendantes).

    Exemple: 14=a*7+b et 28=a*14+b => c'est "une seule équation", l'une étant le multiple de l'autre, impossible de trouver a et b dans ce cas là.

    PS: Vu la date, il serait temps que tu te soucis de ton PPE!
    Dernière modification par cridec ; 23/05/2012 à 16h44.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Soxix

    Re : Détermination d'une fonction exponentielle décroissante en fonction de sa courbe

    Citation Envoyé par cridec Voir le message
    Petite remarque: l'utilisation de l'axe des ordonnées pour trouver b directement n'est valable que pour une équation de droite type y = a*x+b.

    à x=0 (axe des ordonnées), y = a*0 + b => y = b. UNIQUEMENT DANS CE CAS!
    Pas forcement. Car à ce moment on a f(0) = k
    <=> f(0) = a*e^0 -b = k
    <=> f(0) = a-b = k
    <=> b = -k + a
    Mais c'est sûr que faire un système est beaucoup plus rigoureux.
    Dernière modification par Soxix ; 23/05/2012 à 17h23.

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  10. #7
    cridec

    Re : Détermination d'une fonction exponentielle décroissante en fonction de sa courbe

    Citation Envoyé par Soxix Voir le message
    Pas forcement. Car à ce moment on a f(0) = k
    <=> f(0) = a*e^0 -b = k
    <=> f(0) = a-b = k
    <=> b = -k + a
    Mais c'est sûr que faire un système est beaucoup plus rigoureux.

    je ne dis pas le contraire.

    je dis seulement que prendre directement la valeur qui correspond à l'intersection entre l'axe des ordonnées et la courbe d'une fonction pour l'inconnue b ne fonctionne que pour le cas particulier de l'équation d'une droite du type ax+b... surtout pour un élève de prébac.

    Sinon, l faut faire un calcul comme tu l'as fais. (mais dans ce cas, prendre l'axe des ordonnées ou pas n'a plus grand intérêt car le terme a ne disparait pas "automatiquement")

  11. #8
    cridec

    Re : Détermination d'une fonction exponentielle décroissante en fonction de sa courbe

    Citation Envoyé par Soxix Voir le message
    Pas forcement. Car à ce moment on a f(0) = k
    <=> f(0) = a*e^0 -b = k
    <=> f(0) = a-b = k
    <=> b = -k + a
    Mais c'est sûr que faire un système est beaucoup plus rigoureux.
    je ne dis pas le contraire.

    je dis seulement que prendre directement la valeur qui correspond à l'intersection entre l'axe des ordonnées et la courbe d'une fonction pour l'inconnue b ne fonctionne que pour le cas particulier de l'équation d'une droite du type ax+b... surtout pour un élève de prébac.
    il y a d'autres cas pour lesquels cela fonctionne aussi (fonction polynomiale du type a*x²+b, a*x^3+b, etc....), mais en prébac, ça va l'embrouiller.

    Sinon, il faut faire un calcul comme tu l'as fais. (mais dans ce cas, prendre l'axe des ordonnées ou pas n'a plus grand intérêt car le terme a ne disparait pas "automatiquement")

  12. #9
    Julio15

    Re : Détermination d'une fonction exponentielle décroissante en fonction de sa courbe

    Merci à tous, mais j'ai résolu mon problème en réfléchissant un plus sur la question, et cridec ne te fait pas de souci pour mon PPE je l'ai déjà fini mais c'était juste un point qui me chagrinait un peu mais merci à toi quand même pour ces explications

  13. #10
    phys4

    Re : Détermination d'une fonction exponentielle décroissante en fonction de sa courbe

    Citation Envoyé par Julio15 Voir le message
    Bonjours, dans le cadre d'un PPE, épreuve de bac au lycée, je dois déterminer la fonction d'une courbe que j'ai déterminée expérimentalement (voir ci-joint). Comme vous le constatez, c'est une exponentielle décroissante.
    Vous avez beaucoup travaillé sur la fonction exponentielle. Le "comme vous le constatez" n'a rien d'évident.

    A première vue, la courbe a tout d'une hyperbole : asymptotes verticale et horizontales et variations beaucoup trop lente pour les grandes valeurs.
    Comprendre c'est être capable de faire.

  14. #11
    Julio15

    Re : Détermination d'une fonction exponentielle décroissante en fonction de sa courbe

    Oui c'est vrai vous avez raison, mais chose que vous ne savez pas, depuis je me suis arrangé et j'ai gradué d'une autre façon mon axe des abscisses cad au lieu de partir à 0 je l'ai commencé à 1. Pourqoi ? et ben tout simplement parce que cette courbe intervient dans mon projet pour matérialiser le temps de charge d'une batterie dans mon système ( système : c'est ralentisseur de voiture générateur cad que lorsqu'une voiture passe sur le ralentisseur ce dernier génère un courant) en fonction du nombre de passage de voiture par minute sur le ralentisseur. Et dans le cadre de mon projet, il n'est pas intéressant de faire apparaitre le chiffre 0 (aucun passage de voiture) dans le graphique car on ne peut évidemment pas charger la batterie avec 0 voiture.

  15. #12
    Julio15

    Re : Détermination d'une fonction exponentielle décroissante en fonction de sa courbe

    Donc je pense ne pas me tromper en faisant de cette manière. Quand pensez-vous ?

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  17. #13
    gg0

    Re : Détermination d'une fonction exponentielle décroissante en fonction de sa courbe

    "Quand pensez-vous ? "
    Plutôt quand je suis réveillé, et particulièrement lorsque je lis les messages sur ce site.

    Bon, hors plaisanterie, à la question "Qu'en pensez-vous ? " je réponds que origine en 0 ou en 1 ne change rien, puisque ce n'est pas une courbe d'exponentielle. Qui aurait d'ailleurs une valeur pour 0.

    Le tracé est très proche de celui de .

    Cordialement.
    Dernière modification par gg0 ; 24/05/2012 à 11h35.

  18. #14
    cridec

    Re : Détermination d'une fonction exponentielle décroissante en fonction de sa courbe

    Moi, c'est le matin... en me rasant.

    Sinon, puis je me permettre de te conseiller de faire ton tracé sur un tableur (excel par exemple) et ensuite de demander à excel de te fournir l'équation de la courbe (approchée)?

    Il me semble que dans le cadre d'un PPE, cette démarche serait appréciée.

    Surtout que tu risques d'avoir la question du choix de type de fonction pour caractériser ta courbe, et si tu ne sais pas y répondre (ni ton binôme) ça dénotera un manque évident de réflexion, de discussion dans le groupe et même de rigueur dans la démarche et dans la recherche d'information. (sans parler du fait que l'on va te demander pourquoi tu n'as pas sollicité ton prof de math)

  19. #15
    Julio15

    Re : Détermination d'une fonction exponentielle décroissante en fonction de sa courbe

    Oui, finalement c'est ce que j'ai fait, bon la fonction qu'on obtient avec la modélisation que j'ai faite, je l'avais déjà trouvé avant (ultra simple c'est vrai) mais ça me confirme mon résultat. Et les calculs que j'avais fait jusqu'à présent semblaient collés à la courbe que j'avais mais comme d'autre l'on déjà dit, c'est pas vraiment une exponentielle

  20. #16
    Julio15

    Re : Détermination d'une fonction exponentielle décroissante en fonction de sa courbe

    Si ça vous intéresse, je peux vous envoyer la modélisation que j'ai faite par mail

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