Loi binomiale et la loi de Poisson

[invite9ffaed57]

Bonjour

Je cal à la fin de cet ennoncé !!

Une usine fabrique en très grande série des pièces susceptibles de présenter un défaut. On suppose que la proportion de pièces défectueuses est de 4 % . On prélève au hasard 200 pièces dans la production.
Soit X la variable aléatoire qui à tout prélèvement de 200 pièces fait correspondre le nombre de pièces présentant un défaut.
1. Quelle est la loi de probabilité de X ?
X suit une loi Binomiale de paramètre n = 200 et p = 0,04
2. Calculer la probabilité de l'évènenement :
A : " sur les 200 pièces prélevées aucune n'est défectueuses "
P(A)=P(X=0) C°.p°(1-p)^200=0.96^200=0.00028
3. On admet que la loi de X peut être approchée par une loi de Poisson.
a. Quel est le paramètre de cette loi ?
= np = 200 0,04 = 8
b. Calculer alors la probabilité à 10-3 près des évenements suivants :
B : " Parmi les 200 pièces il y a 7 pièces qui présentent un défaut "
p[B]=
Est-ce que je dois utiliser la loi de poisson ?

Cordialement
Mika
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[invite7fe3c3ee]

vu la rédaction de la question oui
on peut toujours comparer les 2 probas, avec et sans approximation

[invite9ffaed57]

Bonjour,

Ok,
J'ai trouvé la réponse en utilisant le tableau de la loi de Poisson.
D'où P(B) = P(X = 7) = 0,140.
Mais ma question suivante est comment calculer cette réponse en utilsant la formule et ma calculatrice?

C: " Parmi les 200 pièces il y en a au moins 3 qui ont un défaut "
P(C)= ?
Je pense que je dois additionner probalités par rapport au tableau de Poisson !!!

Cordialement
Mika

[invite7fe3c3ee]

réflexe: au moins 3 doit suggérer l'événément contraire dont la proba est donnée par une addition de 3 termes

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9ffaed57]

Oui mais, je dois additionner 3 termes !! Mais j'en ai huit .
Lequel faut-il additionner ? Les trois premiers ou les trois derniers ?

Cordialement
Mika

Merci pour la calculatrice !!!!

[invite7fe3c3ee]

[invite9ffaed57]

Merci pour la réponse !!!
Je comprend mieux le procédé.
Petite question encore...
L'exposant e-8...comment le calculer ?

Cordialement
Mika

[invite7fe3c3ee]

comme sin(8) mais avec la touche

[invite9ffaed57]

Bonjour,

Je bloque sur le point suivant par rapport à l'énnoncé

F : " 2 % ou plus des pièces ont un défaut.
Aprés avoir calculé les pièces
P(x=4), je ne trouve pas comment additionner les termes pour trouver la prob.

Cordialement
Mika

[invite7fe3c3ee]

il faut calculer P(X>=4) donc 1-P(X<=3) toujours de la même façon ! (une partie du travail est déjà réalisé)

[invite9ffaed57]

Merci, j'ai compris !!

Je dois calculer maintenant
G : " Entre 2 et 4 pièces sont défectueuses ".

Je pense que je dois faire P(x<5)-P(x<3)= 0.043-0.003=0.04

Cordialement
Mika

[invite9ffaed57]

Mon calcule n'est pas bon.
Comment dois-je proceder?

G : " Entre 2 et 4 pièces sont défectueuses "
Cordialement
Mika

[invite7fe3c3ee]

Je ne suis d'accord sur rien !
ni sur le 3 dans P(X<3)
ni sur les deux résultats 0.043 et 0.003
il faudrait que tu détailles pour voir où est la faute
Une remarque: entre 2 et 3 c'est tout simplement 2 ou 3 ou 4

[invite9ffaed57]

Voici l'ennoncé .

Une usine fabrique en très grande série des pièces susceptibles de présenter un défaut. On suppose que la proportion de pièces défectueuses est de 4 % . On prélève au hasard 200 pièces dans la production.
Soit X la variable aléatoire qui à tout prélèvement de 200 pièces fait correspondre le nombre de pièces présentant un défaut.
1. Quelle est la loi de probabilité de X ?
X suit une loi Binomiale de paramètre n = 200 et p = 0,04
2. Calculer la probabilité de l'évènenement :
A : " sur les 200 pièces prélevées aucune n'est défectueuses "

3. On admet que la loi de X peut être approchée par une loi de Poisson.
a. Quel est le paramètre de cette loi ?
= np = 200 0,04 = 8
b. Calculer alors la probabilité à 10-3 près des évenements suivants :
B : " Parmi les 200 pièces il y a 7 pièces qui présentent un défaut "
P(B) = P(X = 7) = 0,140
C : " Parmi les 200 pièces il y en a au moins 3 qui ont un défaut "
P(C) = P(X 3 ) = 1 - P(X < 3 ) = 1 - P(X 2) =
1 - ( P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2 ) ) =
1 - ( 0,000 + 0,003 + 0,011 ) = 0,986
D : " Parmi les 200 pièces , il en a au plus 4 qui ont un défaut "
P(D) = P(X 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) =
0,000 + 0,003 + 0,011 + 0,029 + 0,057 = 0,10
E : " 5 % des pièces ont un défaut "
5 % de 200 = 10
P(E) = P(X = 10) = 0,099
F : " 2 % ou plus des pièces ont un défaut " équivaut à
F : " plus de 4 pièces ont un défaut "
P(F) = P(X 4 ) = 1 - P(X < 4 ) = 1 - P(X 3) =
1 - ( P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2 ) + P(X = 3) ) =
1 - ( 0,000 + 0,003 + 0,011 + 0,029) = 1 - 0,043 = 0,957
G : " Entre 2 et 4 pièces sont défectueuses "
Cordialement
Mika

[invite7fe3c3ee]

Oui tout est juste. Attention aux arrondis 0.9576 donne 0.958
Pour la dernière question je ne peux que me répéter ( en me corrigeant): entre 2 et 4 c'est 2 ou 3 ou 4
donc inutile de passer aux événements contraires

[invite9ffaed57]

Ok,

J'ai trouvé !!

P(G)= P(X=2)+P(x=3)+P(x=4)
0.011 + 0.029 + 0.057=0.097

Merci alb12 pour ton aide et ta patience.
J'ai beaucoup appris.

Cordialement
Mika

[invite7fe3c3ee]

Tout le plaisir est pour moi