Suites

[Asmahane]

Bonjour,
Je dois réaliser un exercice mais je bloque.

La suite (un) est une suite positive.
On considère la suite vn = un / (1+un).

- si (un) converge, est-ce que (vn) converge également ?

Merci
-----

[ansset]

edit : ( je n'avais pas vu un point de l'énoncé)
bjr,
oui , sauf si un convergerait vers une valeur spécifique ( voir la définition de vn )
laquelle d'après toi ?
un peut elle converger vers cette valeur ?
conclusion ?
Cdt

[Asmahane]

un converge vers 1?

[ansset]

On ne sais pas vers quoi converge Un.!!!
Ce que j'essayais de dire c'est que si une suite Un converge
que f est une fonction définie sur les valeurs de Un ( y compris sa limite )
alors f(Un) converge aussi.

pour quelle valeur de Un , Vn ne serait pas définie ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

Ansset : il faut quand même que la fonction f ait certaines propriétés pour que ce soit vrai

[ansset]

oui, j'ai simplifié (non exhaustif).
mon but n'était pas de rentrer dans une généralisation même si je l'ai faite indirectement.

l'idée première était simplement de pointer qu'il y avait un soucis si un Un ou sa limite prenait une certaine valeur.
en attendant qu'il dise laquelle.
d'ou deux questions sur ce point.
Cdt

[Asmahane]

Désolée je n’arrive pas à comprendre votre question...

[ansset]

bon, allons droit au but,
que se passe t il si la limite de la suite Un vaut -1 ?
quel commentaire peut on faire pour la suite Vn si la suite Un prend à un moment(s) donné la valeur -1 ?

[Asmahane]

Si un vaut -1 alors le dénominateur sera nul et le calcul est impossible

[ansset]

Si un vaut -1 alors le dénominateur sera nul et le calcul est impossible

c'est un début de réflexion, mais pas la réponse attendue
essayes de répondre à mes deux questions , dont la première est directement lié à la question de l'énoncé.
la seconde renvoyant à une remarque sur la suite Vn.
Cdt

[ansset]

ps : c'est juste une réflexion pour les méninges sachant que Un est défini positive (*), donc Un ne peut prendre la valeur -1.
par rapport à ton énoncé, tu peux donc conclure aisément.
j'essayais juste de te faire réfléchir au cas ce prémisse n'avait pas été posé.
donc pas obligé de se prendre la tête, une fois qu'on sait que le seul soucis "serait" des valeurs ou une convergence de Un en -1.

(*) ce qui veut dire que tu en as besoin pour affirmer que Vn converge.
et que tu peux donner sa limite l' par rapport à la limite l de la suite Un

[Asmahane]

Puisque (un) est positive,
Si elle converge c’est forcément vers un nombre positif

Donc si je divise une constante par une constante, j’obtiens une constante ; donc (vn) converge ?

[ansset]

Puisque (un) est positive,
Si elle converge c’est forcément vers un nombre positif

Donc si je divise une constante par une constante, j’obtiens une constante ; donc (vn) converge ?

tu ne divise pas par une constante, tu as en fait
Vn=f(Un)
avec f(x)=x/(1/x)
il manque cependant un point à préciser c'est que la fonction f(x) est définie pour tout Un et continue en l ( limite de la suite Un ) (*)
ici , il n'y a pas de soucis car x/(1+x) est définie et continue sur R+.

(*) supposons que Un tend vers 1 et que Vn soit défini par
Vn=0 si Un<=1 et Vn=1 si Un>1
On ne pourra pas conclure à la converge de Vn.

il te reste à dire, sous cette condition , quelle est la limite l' de Vn en fonction de l ( limite de Un )

[Asmahane]

(*) supposons que Un tend vers 1 et que Vn soit défini par
Vn=0 si Un<=1 et Vn=1 si Un>1
On ne pourra pas conclure à la converge de Vn.

il te reste à dire, sous cette condition , quelle est la limite l' de Vn en fonction de l ( limite de Un )

Je suis désolée je ne comprends pas cette partie

[PlaneteF]

Bonjour,

Vn=f(Un)
avec f(x)=x/(1/x)
il manque cependant un point à préciser c'est que la fonction f(x) est définie pour tout Un et continue en l ( limite de la suite Un ) (*)

Pas sûr que cela soit au programme du Lycée. A vérifier (j'ai regardé rapidos j'ai rien vu de tel au premier coup d'oeil).

Sinon tout simplement utiliser les théorèmes sur les opérations de base sur les suites (addition et quotient) qui eux doivent être au programme je présume.

Cordialement

[ansset]

Pas sûr que cela soit au programme du Lycée. A vérifier (j'ai regardé rapidos j'ai rien vu de tel au premier coup d'oeil).

Sinon tout simplement utiliser les théorèmes sur les opérations de base sur les suites (addition et quotient) qui eux doivent être au programme je présume.
Cordialement

j'ai voulu illustrer le fait que, dans un cas général, si une suite Vn ( fonction de Un) n'était pas entre autre continue à la valeur limite de Un, alors on ne pouvait conclure à la convergence de Vn.
Dans le cas présent, ce que tu proposes est plus ad hoc .
je pousse un peu HS effectivement.

[Asmahane]

Je fais la limite d’un quotient ?

[ansset]

Je fais la limite d’un quotient ?

pour la limite de Vn ?
elle se déduit simplement de celle de Un.

[PlaneteF]

Je fais la limite d’un quotient ?

Oui mais il y a une vraie question au sujet du dénominateur :

Est-que la suite dont les termes sont peut converger vers

Intuitivement la réponse est non, mais il faut le justifier formellement.

Cordialement

[Asmahane]

Un est minorée par 0 car elle est positive.
Donc 1+Un est forcément minoré par 1.
Donc la suite ne peut pas converger vers 0

[PlaneteF]

Un est minorée par 0 car elle est positive.
Donc 1+Un est forcément minoré par 1.
Donc la suite ne peut pas converger vers 0

Ce "donc" que j'ai mis en rouge dans ta citation répond à ton intuition. Mais quelle propriété utilises-tu pour conclure cela ?

Cordialement

[Asmahane]

Lim 1 = 1
Lim Un = + l’infini

Donc lim (1+un) = lim (un) = + l’infini

[PlaneteF]

Lim Un = + l’infini

... euuuh ... on suppose que converge !

Cordialement

[ansset]

où vas tu là ( faux à priori puisque Un converge )
edit : croisement.

[Asmahane]

Ah oui pardon j’avais oublié,
Lim 1 = 1
Lim Un = converge vers l

Donc lim (1+un) = l + 1

[PlaneteF]

Ah oui pardon j’avais oublié,
Lim 1 = 1
Lim Un = converge vers l

Donc lim (1+un) = l + 1

Intuitivement , mais quelle propriété te permet de l'affirmer ?

Cordialement

[Asmahane]

(Un) est minorée par 0 et est croissante donc l >/ 0

[PlaneteF]

(Un) est minorée par 0 et est croissante donc l >/ 0

Elle est croissante ?? ... Ce n'est pas dans l'énoncé !

Cordialement

[Asmahane]

Alors puisque Un est minorée par 0, l est forcément supérieur ou égal à 0

[PlaneteF]

Alors puisque Un est minorée par 0, l est forcément supérieur ou égal à 0

As-tu un théorème qui dit cela explicitement dans ton cours ? (je ne dis pas que ce n'est pas le cas, je ne connais pas ton cours)

Cordialement