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Remise à niveau : dérivées composées



  1. #1
    enkariss

    Question Remise à niveau : dérivées composées


    ------

    Bonjour à tous !

    J'essaie de me remettre à niveau en mathématique avec un livre (que je conseille au passage à tous ceux qui veulent faire des maths en autodidacte "autoformation aux bases des mathématiques"). Il y a pas mal d'exercices corrigés, et d'habitude, je n'ai pas trop de mal à comprendre, mais là, je sèche. J'ai déjà la réponse, puisque j'ai l'autocorrection, donc je voudrais comprendre comment ils en sont arrivés là.

    L'exercice est le suivant : il s'agit de trouver la dérivée de la fonction suivante :
    y=x.[(x+1)/(x-1)]²
    J'ai essayé deux méthodes la première :
    décomposer la fonction de la manière suivante :
    x.(x+1)².(x-1)-²
    et dériver avec la méthode suivante (uvw)'=u'vw+uv'w+uvw', ce qui me donne le résultat suivant : (6x²+5x+2)/(x-1)²

    j'ai aussi essayé de considérer qu'on avait la fonction x multipliée par ((x+1)/(x-1))² et de considérer : (u.v)'=u'v+uv' avec u=x u'=1
    v=((x+1)/(x-1))² et de dériver v selon la formule f°g avec g(x)=(x+1)/(x-1) et f(u)=u², ce qui suppose de trouver g'(x) avec la formule (u/v)'= u'v-uv'/v²
    ce qui me donne le résultat suivant :
    g'(x)=(x-1)-(x+1)/(x-1)²=0

    d'où (f°g)'=f'(g(x)).g'(x) =0=v'
    (u.v)'=1.[(x+1)/(x-1)]²+0= [(x+1)/(x-1)]² (ce qui me semble vraiment bizarre aussi!)

    Or le résultat donné pour l'exercice est le suivant :
    y'=(x+1)(x²-4x-1)/(x-1)^3

    Du coup, je vais tenter en reprenant la définition de la dérivée avec f(x+h)-f(x)/h quand h tend vers 0.... mais j'ai peur de me perdre, alors si quelqu'un peut me donner une piste... merci !!

    -----

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  3. #2
    gg0

    Re : Remise à niveau : dérivées composées

    Bonjour.

    Première méthode : la dérivée de (x-1)-2 est -2(x-1)-3. Comment se fait-il que tu ne trouves pas des (x-1)3 au dénominateur ? Il y a donc une erreur de calcul, mais comme tu ne donnes pas ton calcul, cherche-la seul.
    Deuxième méthode : C'est bizarre, ce que tu écris, avec ces =0 ?? "g'(x)=(x-1)-(x+1)/(x-1)²=0" Non, g'(x) ne fait pas 0. Tu fais une énorme érreur de calcul, tu dis que x-1 est égal à x+1 !!!!

    Cordialement.

    NB : g'(x)=0 (pour tout x) dit que g est constante. Tu crois vraiment que ta fonction g est constante ?

  4. #3
    fartassette

    Re : Remise à niveau : dérivées composées

    Citation Envoyé par enkariss Voir le message

    Or le résultat donné pour l'exercice est le suivant :
    y'=(x+1)(x²-4x-1)/(x-1)^3

    Du coup, je vais tenter en reprenant la définition de la dérivée avec f(x+h)-f(x)/h quand h tend vers 0.... mais j'ai peur de me perdre, alors si quelqu'un peut me donner une piste... merci !!
    non surtout pas tu vas te perdre en revenant à cette définition.

    je te conseille d 'appliquer directement (la réponse étant connue, je me permets de détailler ce calcul)



















    bonne lecture

  5. #4
    fartassette

    Re : Remise à niveau : dérivées composées

    le passage au logarithme peut être un choix à la fois efficace et judicieux, petit bémol c est un peu plus long.



    la suite tu l'à connais!marrant ce smiley

  6. #5
    andretou

    Re : Remise à niveau : dérivées composées

    Citation Envoyé par fartassette Voir le message
    le passage au logarithme peut être un choix à la fois efficace et judicieux, petit bémol c est un peu plus long.
    Belle méthode !
    Bon, le connaissable c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    danyvio

    Re : Remise à niveau : dérivées composées

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Belle méthode !
    Certes, mais ce qui me gêne : on passe par ln(x), ce qui exclut la valeur x=0 du domaine de définition. Or, x=0 est valable tant pour f(x) que pour la solution donnée f'(x) donnée dans l'énoncé.
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

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  10. #7
    andretou

    Re : Remise à niveau : dérivées composées

    Citation Envoyé par danyvio Voir le message
    Certes, mais ce qui me gêne : on passe par ln(x), ce qui exclut la valeur x=0 du domaine de définition. Or, x=0 est valable tant pour f(x) que pour la solution donnée f'(x) donnée dans l'énoncé.
    En effet, f(x) est définie sur IR-{1}, tandis qu'en passant par la fonction ln les valeurs acceptables pour x deviennent IR*+ - {1}.
    Comment peut-on lever cet obstacle ?
    Bon, le connaissable c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  11. #8
    theguitarist

    Re : Remise à niveau : dérivées composées

    Salut

    Vu la tête de la fonction (un produit de fonctions plus que simples), et quitte à utiliser la fonction logarithme néperien, j'aurais plutôt été tenté d'étudier la dérivabilité de

    Ce qui donne ici qu'il convient par la suite d'étudier de manière tout à fait similaire à ce qu'on a dit, mais sur les différents domaines adéquats.

    C'est donc mieux que précédemment (d'un certain point vue) cela dit on ne pourra pas passer outre l'étude de la dérivabilité aux points particuliers -1 et 0. Après bon, ces singularités venaient justement du fait que , donc si on en revient à la définition de la dérivabilité en un point (limite du taux d'accroissement), ces points manquants ne devraient pas poser de problème.

    Finalement, ça ne simplifie pas forcément le problème. Mais j'avoue que c'est ça reste sympa d'ailleurs si la question de départ avait été posée sur , ça aurait tout changé!

    theguitarist

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