Nombre rationnelle...

[Matlabo]

Bonjour;

En fait puisque un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire comme a\b où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul).

Donc on peut prendre n'importe quel nombres entiers relatifs et le diviser sur n’importe quels autres et donc avoir un nombre rationnel.

Corrigez moi si je me trompe.

Et encore une chose est ce que tous nombres rationnels a une période si c'est le cas alors

5446787382874/654547938543 ( si c'est un nombre rationnel )
a une période ? ( ce n'est qu'un exemple au hasard).



Et aussi prenant un nombre comme celui ci:

0.45357777989754577770943...
Y'a t-il une période.

Si c'est le cas alors comment l'écrire sous forme de fraction.

Merci beaucoup ;
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[albanxiii]

Bonjour,

Et aussi prenant un nombre comme celui ci:

0.45357777989754577770943...
Y'a t-il une période.

Si c'est le cas alors comment l'écrire sous forme de fraction.

C'est un classique.

Posez x = 0.45357777989754577770943... on va supposer que l'écriture correcte est x = 0.4535777798975457777094345357 777989754577770943453577779897 54577770943... avec une période de 23 chiffres.

Calculez 10^{23}x et retirez lui x. Vous constatez que vous obtenez un nombre entier. En l’occurrence 45357777989754577770943.

Donc, (10^{23}-1)x = 45357777989754577770943. A vous de terminer.

[gg0]

Bonjour Matlabo.

"Donc on peut prendre n'importe quel nombres entiers relatifs et le diviser sur n’importe quels autres et donc avoir un nombre rationnel.

Corrigez moi si je me trompe." je te corrige : le dénominateur ne peut pas être 0, donc ce n'est pas "diviser sur n’importe quels autres" mais "diviser par n’importe quel autre nombre entier non nul".

On démontre que les nombres rationnels sont exactement ceux qui ont un développement décimal périodique à partie d'une certaine décimale. Par exemple 4202/2100 = 2,00095238095238095238095 ... a un développement décimal périodique à partit du troisième 0 après la virgule.

Attention, la période peut être longue, de longueur jusqu'à 1 de moins que le dénominateur. par exemple 22/7 a une période de 6 chiffres.

Tu peux parfaitement comprendre ce qui se passe en faisant la division à la main (par exemple pour 4202/2100=42,02/21) en regardant ce qui se passe pour les restes. C'est bien mieux qu'une explication.

Cordialement.

[Matlabo]

Bonjour ;
Alors absolument tous les nombres rationnels ont une période.

"Attention, la période peut être longue, de longueur jusqu'à 1 de moins que le dénominateur. par exemple 22/7 a une période de 6 chiffres."
Mais ce n'est bien-sûr pas une regle générale.

J'ai fait la division à la main on remarque que sa n'arrête pas de tourner aprés le trois 0.

Merci à tous.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

"de longueur jusqu'à 1 de moins que le dénominateur" est une règle générale, facilement compréhensible puisque soit le reste est 0 et on n'a plus que des 0, soit il n'y a que n-1 restes possibles.

Cordialement.

[Matlabo]

Bonjour,
Merci pour votre réponse.
Mais encore une fois est ce que tous nombres Q a une période si c'est le cas alors chaque nombre sous forme de p\q avec p et q appartenant à Z et q ≠0 a une période c'est bien ça?

Merci

[gg0]

Pourquoi reposes-tu une question à laquelle il t'a été déjà répondu ?
Et fais attention à ce que tu écris : "tous nombres Q " ?? Ça n'a aucun sens, même si ici Q désigne l'ensemble des nombres rationnels, donc pas un nombre ! Sans parler de l'horrible titre "Nombre rationnelle", un adjectif au féminin pour un nom masculin, faut le vouloir !

Relis ce qui t'a été répondu.

Cordialement.

[invitef29758b5]

Salut

0.45357777989754577770943...
a une période ?

On ne peut pas le savoir vu qu' on ne connais pas la suite des décimales .

[Matlabo]

Re-Salut;

Je réouvre ce topic car quand gg0 a dit :

"Attention, la période peut être longue, de longueur jusqu'à 1 de moins que le dénominateur. par exemple 22/7 a une période de 6 chiffres. "

J'aimerai savoir comment démontrer ce qu'a dit gg0.

Merci beaucoup.

[invite57a1e779]

Bonjour, lorsque tu fais la division par le dénominateur : tu n'as que restes possibles, de 0 à .

Si, en cours de division, le reste s'annule, c'est que le nombre rationnel envisagé est un nombre décimal, dont le développement n'est plus constitué que par des 0, de la même façon que celui de 1/3 ne contient que des 3 : ce sont des développements périodiques, avec une période réduite à un seul chiffre.

Si le reste ne s'annule jamais, il ne peut prendre que valeurs possibles, de 1 à . Dès qu'il reprend la même valeur, la division va se répéter, identique à elle même, et la suite des décimales devient périodique.

Dans l'exemple de gg0, on a une division par 7 qui fournit les 6 restes possibles avant de revenir sur un reste déjà vu :



J'ai souligné les deux restes identiques que l'on retrouve pour la première fois, et j'ai souligné dans le quotient les décimales qui correspondent à ces restes.

La période des restes est au plus de , et peut atteindre cette valeur.

[Matlabo]

Salut;

D'accord...... mais ce que je ne comprends c'est pourquoi :
"Bonjour, lorsque tu fais la division par le dénominateur : tu n'as que N restes possibles, de 0 à N-1."

Merci beaucoup.

[b@z66]

Salut;

D'accord...... mais ce que je ne comprends c'est pourquoi :
"Bonjour, lorsque tu fais la division par le dénominateur : tu n'as que N restes possibles, de 0 à N-1."

Merci beaucoup.

Pour ça,il vaut mieux retourner à l'école primaire afin de comprendre: le reste est toujours plus petit que le dénominateur par définition sinon ce ne serait pas un reste et ensuite c'est un nombre entier donc tout est dit.

[gg0]

Jusque vers 1980, c'était une évidence pour les collégiens, qui faisaient toutes les divisions à la main.
Attention : Il peut y avoir nettement moins de n-1 chiffres dans la période : 35/11=3,181818181818... deux chiffres, pas 11-1=10. Ce qui compte, c'est le retour d'un reste déjà vu lorsqu'on est "après la virgule". Faire la division à la main est éclairant.

Cordialement.

[danyvio]

Pour Matlabo : pour préciser la division euclidienne (celle qu'on apprend à l'école) : (tous les nombres indiqués ci-après sont entiers) : la relation entre N (le dividende) , le diviseur d > 0 , le quotient q et le reste r est :

N=dq + r avec 0<= r < d

Comme me disait un prof sympa : Il n'est pas inutile de ne pas l'ignorer....

[invite57a1e779]

Faire la division à la main est éclairant.

C'est bien pourquoi j'en ai reproduit une dans la réponse #10… mais je ne sais pas si cette pratique fait encore partie des compétences validées…

[b@z66]

C'est bien pourquoi j'en ai reproduit une dans la réponse #10… mais je ne sais pas si cette pratique fait encore partie des compétences validées…

Personnellement, à cause de l'utilisation de la calculatrice, j'ai tendance à oublier sur la durée la méthode de la "division à la main" et, lorsque j'en ai vraiment besoin, je dois toujours me faire une petite piqûre rapide de rappel.

[Matlabo]

Salut.....

Désolé j'ai beau lu et relue vos messages mais je ne comprends pas............ je n'ai pas compris pourquoi la période peut être longue jusqu'à 1 de moins.
que le dénominateur.

Merci.........

[gg0]

Fais à la main la division de 30 par 7, tu verras pourquoi il y a une période de longueur 6.

[Matlabo]

D'accord, alors je viens de faire la division et on remarque que le reste est répété donc c'est ce qui expliquer la répétition du quotient mais ...... c'est que je ne comprends pas pourquoi le reste est répété ......

Désolé....

[invite57a1e779]

Parce que le reste, c'est 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 : tu est bien obligé de revenir sur un reste déjà vu, et du coup la division boucle : les restes et les décimales successives que l'on calcule sont périodiques.

La division « à la main » est une opération «sans mémoire » : chaque fois que tu obtiens un reste de 3 (par exemple), peu importe ce qui s'est passé avant, il se passera toujours la même chose après.

[Matlabo]

D'accord!
Je crois que la j'ai saisi
Merci à tous