une équaton, deux inconnus

[inviteb89e9032]

Bonjour à tous !
Voici mon exercice de spé maths :

Déterminer les entiers relatifs x et y vérifiant les relations indiquées :
a) x³-y³=999
b) 6x+y-3xy+22=0

Pour le première équation, j'ai trouvé qu'on pouvait factoriser par (x-y)(x²+2xy+y²). De plus, 999 a comme diviseur {-999;-333;-111;-37;-27;-9;-3;-1;1;3;9;27;37;111;333;999} Mais suis-je obligé de faire tous les cas (soit 16 cas) ou y aurait-il un moyen d'en supprimer certains ? Je pensais peut-être au congruences mais je ne trouve pas comment les faire...
Pour la seconde, par contre, c'est le flou totale ! Je sais que les diviseurs de 40 sont {-40;-20;-10;-8;-5;-4;-2;-1;1;2;4;5;8;10;20;40} mais je n'arrive pas à factoriser pour obtenir des systèmes... Je n'ai pas le droit d'utiliser la division, ou de les marquer du moins. Et pareil, peut-on supprimer certains cas pour avoir un travail moins fastidieux ?
Merci de votre aide !
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[invitebb943ab6]

j'ai trouvé qu'on pouvait factoriser par (x-y)(x²+2xy+y²)

ca commence mal...

[inviteb89e9032]

désolé, erreur de frappe... je voulais dire (x-y)(x²+xy+y²)

[ansset]

en premier tu n'as pas 16 cas mais 8 seulement.
car x-y >0 sinon x<y et x^3-y^3 serait négatif
ne reste donc que les 8 cas ou x-y va de 1 à 999 et ou (x²+xy+y²) est son complémentaire
en appelant A=x-y et B sont complémentaire unique
on peut remarquer que
B-A²=3xy donc xy=(B-A²)/3 d'où
(x+y)²=B+(B-A²)/3 =C²
ce qui doit donner un carré parfait.
il n'y a que deux poss pour un couple (A,B) de donné un C² carré parfait ( donc deux C possibles )
ce qui donne 4 poss
x-y=A1 et x+y=C1
x-y=A1 et x+y=-C1
x-y=A2 et x+y=C2
x-y=A2 et x+y)-C2
les deux premiers donnent des x et y pos et les deux derniers des x et y neg ( symétriques )

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

pour la seconde, tu peux chercher une factorisation qui se rapproche de ton équation à la cte finale prêt.

[ansset]

pour la première, on pouvait voir en première intention que 2 solutions parmi les 4 ( symétriques bien sur ) sont triviales.
10 ; 1
-1 ; -10

[inviteb89e9032]

Pour la deuxième équation, peut-on dire que 6x+y-3xy+22=0 <=> (1-3x)(y-2)=-24 ?

[inviteb89e9032]

Merci pour votre réponse.

B-A²=3xy donc xy=(B-A²)/3 d'où
(x+y)²=B+(B-A²)/3 =C²

Comment avez vous trouvez qu'il fallait trouver (x+y)² ?

x-y=A1 et x+y=C1
x-y=A1 et x+y=-C1
x-y=A2 et x+y=C2
x-y=A2 et x+y)-C2

Pourquoi calculez ensuite pour les solution x-y et x+y ? je pensais qu'il fallait trouver x-y et x²+xy+y²...

[ansset]

Pour la deuxième équation, peut-on dire que 6x+y-3xy+22=0 <=> (1-3x)(y-2)=-24 ?

oui, c'est ce que j'ai fait, en l'écrivant un peu différemment.

Comment avez vous trouvez qu'il fallait trouver (x+y)² ?

Pourquoi calculez ensuite pour les solution x-y et x+y ? je pensais qu'il fallait trouver x-y et x²+xy+y²...

l'énoncé demande les solutions x et y dans Z pour chacune des équations (*) et elles sont faciles à obtenir à partir de x-y et x+y
Or (x+y)² peut s'écrire en fct de (x-y) et (x²+xy+y²), ce que j'ai fait, sachant que le nb de couples de ces deux formules est réduit.

(*)

Déterminer les entiers relatifs x et y vérifiant les relations indiquées :

[inviteb89e9032]

Merci beaucoup pour votre aide ! J'ai réussi à trouver les solutions des deux équations ! Cependant, je n'arrive pas à trouver de simplification pour ne pas à avoir à écrire les 16 systèmes sur ma copie : cela fait une heure que je cherche en vain... Je trouve 4 solutions. Au départ, je pensais qu'il y avait peut être un rapport de supériorité ou infériorité entre le résultat de deux équations du même système mais non... Pouvez vous m'aider à supprimer certains cas ?

[ansset]

pour la première équation ?
je t'ai déjà indiqué qu'il n'y a que 8 couples possibles pour (x-y) et (x²+xy+y²), car (x-y) est forcement positif.
ce qui amène à 8 calcul de (x+y)² qui doit donc être un carré d'entiers .Et il n'y a que deux solutions , ce qui entraîne 4 couples x,y au final dans Z.

[inviteb89e9032]

Non, pas pour la première, mais pour la seconde... Il y a 16 systèmes en tout et seulement 4 donnent des x et y entier. Mais je ne vois aucune logique me permettant de trouver un moyen d'éliminer les autres options.
1-3x=1 et y-2=-24
1-3x=-2 et y-2=12
1-3x=-8 et y-2=3
1-3x=4 et y-2=-6
au départ je pensais qu'il y avait peut être un rapport du genre 1-3x>y-2 ou l'inverse mais ce n'est pas possible car parfois 1-3x>y-2 (pour 2 solutions) et parfois 1-3x<y-2 (pour les 2 autres solutions)

[ansset]

Je n'ai pas creusé pour la 2)
ceci dit les systèmes impossibles se détectent très vite , on peut le faire sur le terme en 1-3x seul,
car 1-3x=a entier signifie que a-1 congru à 0 mod[3], ce qui élimine directement les valeurs -1;-3;-4;-6;-12;-24;2;3;6;8;12;24 pour le terme 1-3x.
il n'en reste donc que 4

[inviteb89e9032]

Je n'avais pas pensé aux congruences mais oui, cela marche ! Merci beaucoup pour votre aide !