Trouver toutes les solutions d'un système d'équation

[invite7a03dbbd]

Bonjour,

en cours j'ai pu voir qu'un système permettait de savoir si :

- 2 droites sont sécantes : 1 solutions
- 2 droites sont parallèles : 0 solutions
- 2 droites sont confondues : Infinité de solution

Je sais que pour résoudre un système nous pouvons utiliser la méthode de substitution et la méthode de combinaison. À ce niveau là je n'ai pas vraiment de problème.

Toutefois, j'ai du mal à comprendre comment savoir qu'un système admet une infinité de solutions..Je pense que c'est un truc tout bête mais je ne suis pas certaine.

Merci de m'aiguiller
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Quelles sont les solutions du système :

[invite7a03dbbd]

J'obtiens x = -2y
et y = 0

...Donc x = 0

S =( 0 ; 0 )

....Et donc là...je ne sais pas trop comment interpréter les résultats...

[gg0]

Bonjour PandoraX.

Tu te trompes, tu n'obtiens pas y=0, mais 0y=0 ce qui est très différent :
x=-2y
on remplace dans la deuxième équation :
2(-2y) + 4 y=0
-4y+ 4 y=0
0y=0

Quels sont les valeurs possibles, pour y, celles qui multipliées par 0 font 0 ?

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7a03dbbd]

Ah mais du coup, concernant les droites & les systèmes :

est-ce qu'on devine qu'un système de droites admet une infinité de solutions à partir du moment où les droites admettent le même coefficient directeur & ordonnées à l'origine ;
Via : méthode de substitution on obtient :

2x + 4y = 0
2x + 4y = 0

Ou est-ce parce que x & y sont égales entre eux ?

Je pense qu'à force de me poser 3 000 questions j'en viens vite à m'embrouiller

Merci



Edit : gg0 on a posté en même temps, je réponds très vite à ta question

[invite7a03dbbd]

gg0 merci pour la correction c'est vrai que je fais souvent ces erreurs d'inattention !
Bin...je dirais infinie du coup..
Mais alors on admet que les solutions sont infinies seulement si on tombe sur des 0 ?
Et si on tombe sur une valeur différente de 0 qui admets 3 ou 4 solutions, peut-on dire qu'il y a un nombre de solutions infinies compte tenu de la règle émise ci-dessous :

- 0 solution = droites parallèles
- 1 solution = droites sécante
- Solution infinie = droites confondues


(Désolée pour le spam, mais la modification n'a pas fonctionné)

[gg0]

Encore une fois, tu mélanges tout, au lieu de chercher à répondre à ma question ! Il n'y a pas de solution infinie.
Tu ne peux pas penser correctement si tu ne fais pas attention aux mots.

Je reprends : Quels sont les valeurs possibles, pour y, celles qui multipliées par 0 font 0 ?

[invite7a03dbbd]

Désolée j'avais répondu dans la modification et oublié de le remettre dans l'autre message.
Autrement je voulais dire : "Le système admet une infinité de couple de solution, alors les droites sont confondues"

Tout nombre réels multiplié par 0 = 0 ? Donc -1, -3, 2, 4, 6 etc

[gg0]

Oui, et aussi pi ou racine de 2.

Sinon, sauf quand les équations sont manifestement proportionnelles, il faudra calculer pour savoir comment sont deux droites dont on a les équations.

[invite7a03dbbd]

Pourquoi seulement la racine de 2 ?

Mais du coup, par rapport à ma question, puis-je dire qu'un système admet une infinité de couples de solutions si et seulement si :

- Les solutions sont nulles (?)

Parce que calculer pour savoir comment sont deux droites dont on a les équations; oui mais est-ce qu'on reste dans la résolution des systèmes ? De quels calculs parlent-on exactement ?

c-a-d que si on me pose la question :

Combien de solutions admettent ces systèmes ?

Je vais bien devoir répondre en utilisant les méthodes de s. et de c. et par conséquent, l'analyse des résultats me permettra de répondre.
Ce que je cherche à comprendre c'est :
quels sont les résultats (la forme concrète qui me fera tilter) qui me permettront de déterminer qu'un système admet une infinité de solutions ?

Désolée mais je n'ai pas vraiment eu l'occasion d'apprendre les maths au collège & lycée, je les apprends en autodidacte.

[gg0]

"Pourquoi seulement la racine de 2 ?" ??? Tu te moques ? Je n'allais pas te donner une infinité d'exemples. mais tu ne donnais que des entiers !! Il n'y a pas que les entiers, comme nombres.

Pour la suite, je ne comprends rien à ce que tu racontes !!
Quand tu résous un système, tu fais les calculs, et tu vois ce que ça donne. Un point c'est tout. Et si tu trouves qu'il y a 20 solutions, tu conclus qu'il y a 20 solutions. Si tu trouves qu'il y a une infinité de solutions, tu dis qu'il y en a une infinité. mais si tu trouves "Les solutions sont nulles", tu as trouvé les solutions et tu vois combien il y en a.

Si tu veux encore poursuivre, donne un exemple, car là tu est dans une généralisation peu compréhensible.

Cordialement.

[invite7a03dbbd]

Même si j'ai donné des entiers pour exemples, j'ai aussi parlé de tout nombre réels.

Bin je n'ai qu'une question depuis le début, qui est générale :

Comment puis-je être sure qu'un système admet un nombre infini de couple de solution. Je ne vais pas m'amuser à tous les calculer vu qu'ils y en a un paquet...Donc il doit bien y avoir un moyen d'affirmer cela via une méthode. Je suis à la recherche de cette dernière.

quand il n'y a pas de solution, je le vois, donc je l'exprime et j'en conclus que les droites sont parallèles.

quand il y a un nombre infini de couple de solution, je le vois seulement si il y a un multiple de 0, comme l'exemple donné par God's Breath.

Et c'est là où je me pose la question : Faut-il toujours qu'il y ait un multiple de 0 pour affirmer qu'il y a une infinité de couple de solutions ou y a t-il autre chose ?

[gg0]

Ben ... pour l'exemple du message #2, tu as bien trouvé une infinité de solutions, non ? Tu n'as pas eu besoin d'une "méthode". Si ton calcul aboutit à ce qu'il y ait n'importe quelle valeur pour x, tu ne vas pas calculer, tu vas conclure.

D'ailleurs, sans calcul, combien y a-t-il de solutions (x,y) pour l'équation 2x+3y+7=0 ? Écris l'ensemble des solutions (là, il faut calculer).