Intégrale de 0 et extraction de facteur constant

[Mani8]

Bonjour,
tout à l'heure, au hasard d'un exercice, je me suis trouvé confronté à l'intégrale indéfinie de zéro.
Instinctivement, je me suis dit que la primitive de zéro devait être 0 et qu'il me suffisait donc d'y ajouter une constante inconnue C.
Il semble que mon intuition était bonne puisque la dérivée d'une constante quelconque est zéro. Cependant je me suis également demandé ce qu'il se passerait si je prenais l'intégrale de 0x1. Zéro étant une constante, je devrais alors pouvoir l'extraire de l'intégrale et obtenir 0 fois l'intégrale de 1. Or dans ce cas, le résultat n'est plus C mais 0...
Dois-je en conclure qu'on de peut "extraire" de l'intégrale que les facteurs constants non-nuls ?
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[gg0]

Bonjour.

Tu sembles utiliser l'idée qu'une primitive de kf est exactement k fois une primitive de f. A priori, ce n'est vrai qu'en choisissant bien les primitives.
Par exemple, x² est une primitive de 2x; une primitive de 3*2x (=6x) est 5+3x², qui n'est pas 3*(x²).
dans la formule classique

l'égalité est à une constante quelconque près.

Cordialement.

[God's Breath]

Bonjour et

Tu viens de prouver que la formule :



est fausse.

Une autre au passage ; j'intègre par parties avec :

et j'obtiens :



dont je ne peux bien évidemment pas conclure que : !!!

[Mani8]

Ah, je me disais bien que je n'étais pas fou.
Par contre, ça veut dire qu'il faut être prudent en utilisant ces relations. Dommage que ces limitations soient rarement précisées (je ne me rappelle pas avoir lu ça dans un manuel ou sur le net !).

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Je rappelles que représente un ensemble, pas une fonction… il faut donc le manipuler avec les règles valables pour les ensembles, pas avec les règles valables pour les fonctions…

Quand j'obtiens , cela signifie simplement que l'ensemble des primitives de la fonction est stable par la translation de la constante 1, ce qui est vrai.

Si j'écris , cela veut dire que l'ensemble des primitives de la fonction se déduit de l'ensemble des primitives de la fonction par l'homothétie de , ce qui est faux lorsque est nul.

[Mani8]

Merci pour cette précision.
J'ai une question subsidiaire cependant, j'ai lu sur cet autre fil ( http://forums.futura-sciences.com/ma...le-de-0-a.html ) qu'une fonction peut à la fois être "dérivable partout, de dérivée toujours nulle mais jamais constante".
L'anti-dérivée de 0 ne serait donc pas nécessairement 0 non plus ? Dans ce cas quid de l'intégrale indéfinie (jusqu'à présent je m'en tenais à la définition selon laquelle l'intégrale indéfinie d'une fonction était l'ensemble des fonctions décrites par la somme de l'anti-dérivative et d'une constante) ?

[gg0]

Bonsoir Mani8.

Je ne sais pas ce que l'auteur voulait dire part "jamais constante". Qu'elle puisse ne pas être constante, c'est simple, par exemple la fonction définie sur [0;1] U [2;3] qui vaut 0 sur le premier intervalle et 1 sur le deuxième. mais "jamais constante" veut généralement dire que sur n'importe quel ouvert ]a, b[ avec a<b du domaine de définition, la fonction prend des valeurs différentes. Or la dérivabilité partout fait que le domaine contient de tels intervalles et sur cet intervalle, comme f'(x)=0 pour tout x, le théorème des accroissements finis montre que f est constante.

Je note qu'à l'époque personne n'avait relevé.

Cordialement.

[Mani8]

Bonsoir gg0 et merci d'avoir pris le temps de me répondre.
Donc si j'ai bien compris la proposition est fausse.
Dans ce cas, et si l'intégrale indéfinie vaut avec F(x) l'anti-dérivée de f(x) et C une constante quelconque, comment évalue-t-on ?
J'utilisais 0+C=C un peu plus haut mais si la primitive de f(x)=0 n'est pas forcément une constante ce raisonnement ne tient plus...

[gg0]

Mani8,

des tas de propriétés sont fausses si on ne les écrit pas correctement. Par exemple f'(x)=0 ne veut rien dire seul. Il faut savoir de quoi tu parles, par exemple qui est x.

Ensuite, il y a des conventions, et par exemple, dans les formules élémentaires de dérivation et d'intégration, x est une variable réelle, et on écrit x² pour simplifier l'écriture (R--> R, x --> x²) qui dit qu'on considère la fonction définie sur tout R et à valeurs dans R telle que l'image de x est x² (ou une autre formulation complète).

Autre chose : Je ne sais pas ce que tu appelles "anti-dérivée", le vocabulaire mathématique est que si f et g sont définies sur un intervalle I et, sur I, f'=g, alors f est une primitive de g sur I.

Et encore : Mieux vaut éviter de perdre trop de temps avec l'écriture "intégrale indéfinie", qui est un peu malsaine. mais permet d'écrire rapidement des calculs de primitives. Avec précaution.


Pour répondre à tes questions, l'équivalence que tu écris n'est même pas fausse, mais pas vraie non plus, seulement mal écrite. Et les primitives de la fonction nulle (R--> R, x --> 0) sont les fonctions constantes.
Enfin, les mathématiciens ont l'habitude de ne définir les primitives que sur des intervalles entiers, jamais sur des réunions d'intervalle (aucune utilité), donc le cas que je signalais au message #7 ne relève pas de la notion de primitive (donc de l'intégrale indéfinie). Regarde ce que j'ai soigneusement écrit après "Autre chose".

Cordialement.

[Mani8]

Merci pour votre réponse, je comprends mieux.