Loi binomiale

[sobriquet]

Bonjour,

Au cours d'une expérience dans laquelle on répète une épreuve de Bernoulli n fois de manière indépendante, on a obtenu y succès. Je cherche à savoir quelle est la probabilité d'avoir obtenu x succès au terme de la m-ième épreuve de cette expérience.

Comme il s'agit de décrire l'état d'une expérience en cours, on a et .

Ma première idée a été d'admettre que cette probabilité suit une loi binomiale , et que la probabilité est donc

Mais j'ai l'impression de ne pas prendre en compte la suite de l'expérience dans mon calcul, et que le résultat devrait dépendre de deux lois binomiales : , qui décrit la première partie de l'expérience, et pour la deuxième partie. Les épreuves de Bernoulli étant indépendantes, on doit pouvoir écrire le résultat comme le produit de probabilités :



soit :



Ce raisonnement et ce résultat vous paraissent-il corrects ?

Par la suite, j'aimerais estimer la dispersion de cette loi (écart-type ou variance) quand n est très grand, en me débarrassant autant que possible des coefficients binomiaux et autres factorielles. Mes essais avec la formule de Stirling n'ont pas été concluants. Je suis tenté de faire un développement limité, mais je ne me sens autorisé à le faire que dans le cas de petites valeurs. Auriez-vous des pistes à me suggérer ?
-----

[Tryss2]

Si tu répète une épreuve de Bernoulli n fois de manière indépendante et que tu as obtenu y succès, ça ne veut pas dire que la probabilité de succès d'une épreuve est de y/n.

Ta première idée est fausse, car par exemple, si n = 3, y=1 et m = 2, alors P(x=2) > 0, ce qui est absurde (tu ne peux pas avoir 2 succès dans les 2 premières épreuves alors qu'il n'y a qu'un succès au total)

Ta seconde idée est aussi fausse.


En fait, il faut bien se rendre compte qu'il ne s'agit pas d'une loi de Bernoulli indépendante ici : tu sais que tu as exactement y succès sur n. Les m premiers résultats ne sont donc pas indépendants des n-m suivants.

Il faut plus voir ça comme un problème "de rangement" : j'ai y livres rouges et n-y livres blancs, je les range sur une étagère, combien de livres rouges parmi les
m premiers?

[sobriquet]

Merci Tryss2, j'étais loin du compte...

Du coup, parmi les premiers, il y a manières d'avoir succès, sur configurations possibles et, sur les suivants, il y a manières d'avoir succès sur configurations possibles.

Je serais donc tenté de dire :



Mais je n'arrive pas à justifier l'usage du produit dans cette situation. En fait, sur ce genre de problème, j'ai davantage l'impression de deviner le résultat que d'effectuer un vrai raisonnement, et ça fait que je me plante souvent, la preuve

[Tryss2]

Ton nombre de configurations possible n'est pas le bon : en effet, tu comptes des configurations ou tu n'as pas y succès au total.

[A voir en vidéo sur Futura]

[sobriquet]

Ok, voilà qui m'éclaire !

Je pose A = "x succès entre 0 et m" et B = "y succès entre O et n" et j'obtiens du coup :


Qui m'inspire beaucoup plus confiance ! Par contre, pour trouver la variance, c'est une autre paire de manche...

[Tryss2]

C'est exact !

Au passage, il s'agit d'une loi classique :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_hy...om%C3%A9trique

Dans mes souvenirs, le calcul de la variance n'est pas trivial

[sobriquet]

Merci beaucoup pour ce lien vers la loi hypergéométrique ! La convergence vers la loi binomiale, en particulier, convient tout à fait au cas qui m'intéresse !