[TermS] Equations (complexe et exponentielle)

[Slaker]

Bonjour,

Je suis confronté à deux questions sur lesquelles je bloque :


1)Quelle est la somme (et le produit) des solutions complexes de l'équation ?

Mon idée serait de faire un changement de variables ce qui transformerait l'équation en une simple équation du second degré que l'on résoudrait avec un delta. Cependant, lorsque je fais ça, delta vaut 49 et les solutions ne sont donc pas complexes. Cependant, je ne sais pas si j'ai le droit de faire un tel changement de variables avec des grandeurs complexes, il me semble même que ça n'est pas tout à fait correct. Qu'en pensez-vous ?

2)Combien de solutions possède l'équation ?

Celle-ci je l'ai réussi, j'ai trouvé 3 solutions en dérivant et en étudiant les variations, les valeurs remarquables et les limites de la fonction . Cependant, je voulais savoir s'il y avait une méthode plus rapide pour trouver la réponse.


Merci beaucoup d'avance !
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[fartassette]

Bonjour ,


je vous réponds rapidement à la question 1,Le changement de variable est astucieux sauf que vs n'êtes pas aller jusqu'au bout du raisonnement ...


En principe, vous devriez aboutir à une factorisation , c'est à dire d'ailleurs on pourrait encore mieux faire en ce qui concerne la factorisation, n'est ce pas?


Les solutions me semble évidente , à partir de là vous pourrez répondre seul à la question

Désolée je n'ai pas le temps pour la seconde question

[jacknicklaus]

1)Quelle est la somme (et le produit) des solutions complexes de l'équation ?

indice :

ll n'y a aucun besoin de détailler les 4 solutions complexes pour obtenir, sans le moindre calcul, la somme et le produit des racines.


il suffit de connaître les fonctions symétriques élémentaires des racines.

[gg0]

Jacknicklaus : En terminale ?

Salker : les nombres réels sont aussi des complexes. N'importe comment, ce n'est pas Z que tu cherchais, mais z. Tu t'étais arrêté en chemin.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

Jacknicklaus : En terminale ?

dans le cas général, tu as sans doute raison (pas de connaissance détaillée du programme de terminale actuel)

mais dans le cas particulier de la somme et du produit, j’espérais, peut-être à tort, qu'il était clair que

[gg0]

Ce sont des choses qu'on ne voit quasiment plus pour le degré 2, alors au delà ... Et comment saurait-il qu'il y a exactement 4 racines complexes ? On ne fait plus d'étude systématique des polynômes en lycée.
Ceci explique sans doute nombre de difficultés qu'on rencontre en supérieur.

Cordialement.

[Slaker]

Merci pour vos réponses !

Effectivement cette forme du polynome de degré 2 (avec les formules des sommes et produit des racines) est vu mais n'est pas vraiment détaillée ni très utilisée. Mais effectivement je n'ai juste pas fini le calcul, je vois comment faire.

Et que pensez-vous de la 2e question ? Voyez-vous une manière plus simple de répondre (autre qu'en faisant une étude de fonction) ?

[invite51d17075]

c'est la bonne méthode.

[duduch74]

Les propriétés générales des polynômes ne sont pas au programme au lycée. Il faut donc résoudre en faisant le changement de variable Z=z². C'est la méthode préconisée en général au lycée pour ces équations qu'on appelle "bicarrés". Il n'est pas gênant que Z soit un réel, puisque les réels sont inclus dans les complexes. On n'a jamais dit que résoudre une équation dans C donnait forcément des solutions complexes
Supposons qu'on trouve deux solutions réelles à l'équation Z²-Z-12=0, que j'appellerai a et b. On pose alors
z²=a ou z²=b. Si a et b sont positifs, on utilise la racine carré. Si l'un des deux est négatif, mettons b, on ne peut pas utiliser la racine carré pour celle ci. il faut transformer le signe moins en i². Exemple : z²=-3=3i² alors ou

[albanxiii]

Bonjour,

une simple équation du second degré que l'on résoudrait avec un delta.

Il faut revoir votre vocabulaire.