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théorème du point fixe




  1. #1
    mr green genes

    théorème du point fixe

    Bonjoir,

    dans le cours sur les suites on me donne le théorème du point fixe qui dit que si on a une suite Un définie par Un+1 = f(Un), et que Un est convergente vers l, alors l vérifie l'équation f(l) = l

    Or une fonction qui ferait de drôle de zigzags pourrait croiser 20 millions de fois la droite y=x donc... comment savoir qu'on a le bon l ?

    PS : désolé pour les formules, je ne sais pas écrire en LaTeX

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    gg0

    Re : théorème du point fixe

    Bonjour.

    Effectivement, il peut y avoir d'autres points fixes. Mais ici, on ne parle que de la limite.
    Ce théorème est très utile quand on sait qu'il y a une limite et qu'il y a un seul point fixe. Quand il y en a deux (U(n+1)=u(n)²-1 par exemple), c'est déjà moins évident !

    Cordialement.

  4. #3
    duduch74

    Re : théorème du point fixe

    si la suite est convergente et que l'équation f(l)=l admet plusieurs solutions, il faut utiliser d'autres informations pour choisir la solution qui correspond à la limite.
    En général la suite est minorée ou majorée. Par exemple une suite majorée par 5 ne peut pas tendre vers un nombre plus grand que 5...


  5. #4
    ansset

    Re : théorème du point fixe

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Bonjour.

    Effectivement, il peut y avoir d'autres points fixes. Mais ici, on ne parle que de la limite.
    Ce théorème est très utile quand on sait qu'il y a une limite et qu'il y a un seul point fixe. Quand il y en a deux (U(n+1)=u(n)²-1 par exemple), c'est déjà moins évident !

    Cordialement.
    salut,
    je ne comprend pas ton exemple, cette suite ne converge pas !
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  6. #5
    ansset

    Re : théorème du point fixe

    peut être évoquais tu

    qui peut converger ou pas selon u0 , et pour laquelle l'équation f(l)=l amène deux solutions théoriques.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    gg0

    Re : théorème du point fixe

    Heu ... Ansset,

    la convergence n'est pas en cause, seulement l'existence de points fixes. Et il y a convergence pour deux valeurs de U0.

    Mais ton exemple est plus intéressant, effectivement.

    Cordialement.

  9. #7
    minushabens

    Re : théorème du point fixe

    Citation Envoyé par mr green genes Voir le message
    dans le cours sur les suites on me donne le théorème du point fixe qui dit que si on a une suite Un définie par Un+1 = f(Un), et que Un est convergente vers l, alors l vérifie l'équation f(l) = l
    Ce n'est pas ça qu'on appelle théorème du point fixe.

    Sinon pour ta question si f a plusieurs points fixes, on peut partitionner R en "bassins d'attraction" des divers points fixes (en y incluant éventuellement - et + infini), qui sont les ensembles des x tels que si u0=x, u1=f(u0), etc alors f tend vers le point fixe considéré.
    Dernière modification par minushabens ; 02/04/2018 à 08h58.

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  11. #8
    ansset

    Re : théorème du point fixe

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    la convergence n'est pas en cause, seulement l'existence de points fixes. Et il y a convergence pour deux valeurs de U0.
    OK, mais ce n'est pas ce que j'avais compris du post initial : suite convergente avec plusieurs solutions pour f(l)=l.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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