Primitive

[invitecb3dc26d]

Bonsoir, je suis désolé pour la question sur un sujet aussi simple

La solution : Une primitive de x * 1/(1+x²) c'est 1/2 * ln(x²+1)


Dans x * 1/(1+x²) je reconnais la forme u'/u donc pour moi c'est ln(x²+1) mais le 1/2 il sort d’où ?
-----

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

La dérivée de x² est 2x donc une primitive de x (= 2*x/2) est x²/2 + cste.

Cordialement,
Duke.

[invitecb3dc26d]

j'y ai pensé mais dans ce cas ça fait : x²ln(x²+1)/2 et pas 1/2 * ln(x²+1)

[Duke Alchemist]

Bonjour.


... Non ?

Cordialement,
Duke.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecb3dc26d]

Si mais je comprend pas pourquoi ce serait faux d'écrire x²ln(x²+1)/2 ... Une primitive de x c'est x²/2

On a x * 1/(1+x²), la primitive de 1/(1+x²) = ln(1+x²)

[invite51d17075]

Si mais je comprend pas pourquoi ce serait faux d'écrire x²ln(x²+1)/2 ... Une primitive de x c'est x²/2

On a x * 1/(1+x²), la primitive de 1/(1+x²) = ln(1+x²)

que veux tu dire ?
ce que j'ai mis en gras est faux
si f(x) est la fonction ln(x) et
g(x) la fonction 1+x² alors
la dérivée de f(g(x))=g'(x)f'(g(x))
donc ici la dérivée de ln(1+x²) =
"dérivée de (1+x²)"*"dérivée de la fonction ln appliquée à ( 1+x²)" soit
2x( 1/(1+x²))
2x/(1+x²)

[invite51d17075]

d'ailleurs tu dis toi même reconnaître la forme u'(x)/u(x) dont une primitive est bien ln(u(x))
car la dérivée de ln(u(x)) n'est pas 1/u(x) pour les raisons expliquées plus haut.

[invitecb3dc26d]

Vous dites 2x/(1+x²) , mais 2x/(1+x²) n'est pas égale à ln(1+x²) / 2


Moi je veux intégrer donc je calcule directement la primitive : on a x/(1+x²) qui est une forme u'/u donc ln(u) = ln(1+x²) après le x au numerateur me pose problème

En fait, j'ai fais plein de primitives, mais celle-ci me pose enormement problème je ne sais pas pourquoi

EDIT : je cherche la primitive pas la dérivée

[gg0]

Bonjour.

Tu fais erreur depuis le début : " on a x/(1+x²) qui est une forme u'/u ". Ben non ! Si u=1+x², u' n'est pas x. C'est proche d'une forme u'/u, mais ce n'en est pas une.
Tant que tu restes sur cette erreur, tu ne peux pas avancer, ni même comprendre ce qu'on t'a dit.
Quand tu auras vraiment essayé d'avoir une forme u'/u, à un coefficient multiplicatif près, tu réaliseras à quel point tu étais perdu. Au point de raconter n'importe quoi du genre "mais 2x/(1+x²) n'est pas égale à ln(1+x²) / 2" comme si quelqu'un t'avait dit que c'est égal. Alors qu'on t'en a parlé parce que 2x/(1+x²) est la dérivée de ln(1+x²). Tu n'as même pas réussi à comprendre ce qu'on te disait (panique ? refus de remettre en cause ton affirmation fausse ?).

Cordialement.

[invite51d17075]

De fait, je ne sais plus si le "blocage" vient simplement du fait qu'il faut introduire un coeff multiplicatif ( qui semble évident ) pour avoir effectivement une expression exactement de la forme u'(x)/u(x).
ou simplement que la dérivée de f°g(x) est g'(x)f'(g(x)) , ce qui laisse à penser que l'on a appris "par cœur" la primitive de u'(x)/u(x) mais sans avoir compris pourquoi.

d'ailleurs, il est étonnant de lire :

....après le x au numerateur me pose problème

alors qu'on est plutôt bien content qu'il soit là, car une primitive ( sans le x ) de 1/(1+x²) est bien moins évidente.
à moins de savoir qu'il s'agit de la fonction Arctan(x) ( à une cte prêt )

[invitecb3dc26d]

Ok reprenons, on cherche une primitive de x/(1+x²). J'avais dis que c'était de la forme u'/u, mais ça ne peut pas être le cas car x n'est pas une dérivée de 1+x².

On essaye de se rapprocher d'une forme u'/u. Une dérivée de u = 1+x² c'est u' = 2x. Alors en appliquant u'/u cela donne 2x / (1+x²) et là on peut dire comme la primitive de u'/u est ln(u) que ln(u) = ln(1+x²).

Donc une primitive de 2x / (1+x²) serait ln(1+x²)

Donc tout ça pour me permettre de voir que j'ai faux


Je retourne donc chercher la primitive de x/ (1+x²). Y a t'il une fonction qui me permettrait de calculer directement cette primitive ?

[invite51d17075]

Donc une primitive de 2x / (1+x²) serait ln(1+x²)

c'est totalement juste.

Je retourne donc chercher la primitive de x/ (1+x²). Y a t'il une fonction qui me permettrait de calculer directement cette primitive ?

revenons à un truc simple.
si F(x) est une primitive de f(x) alors
aF(x) est une primitive de af(x) ( a étant une constante )
car la dérivée de aF(x) est aF'(x)=af(x)
donc ici
si ln(1+x²) est une primitive de 2x/(1+x²) alors
(1/2)ln(1+x²) est une primitive de x/(1+x²)

[gg0]

Voyons donc !

Si tu as appris à dériver, tu sais que la dérivée de af (où a est une constante) est af'. Tu en déduis immédiatement que si g est une primitive de f, alors ag est une primitive de af. Ou encore, écrit autrement :


C'est cette propriété élémentaire (une des toutes premières qu'on apprend quand on étudie les primitives) que tout le monde emploie spontanément. Tu apprends en autodidacte en faisant des exercices ?

Cordialement.

[invitecb3dc26d]

En fait si je la connaissais cette formule c'est juste que j'y pense pas, il me manque le raisonnement, en fait j'ai des connaissances mais j'applique pas ou je le fais mal ou je sais pas

Par exemple ici, quand il est question de primitive, mon réflexe c'est d'appliquer directement les formules des primitives que je connais à la fonction qu'on me donne

Je pense pas, par exemple, à me rapprocher de cette formule en dérivant, ici 2x/(1+x²), pour ensuite primitivé, ici ln(1+x²), pour ensuite multiplié par une constante 1/2 sur la dérivée et aussi sur la primitive.

enfin Merci

[gg0]

En fait, pour les primitives, il faut toujours penser aux techniques de dérivation (puisqu'on veut faire l'inverse) et la connaissance de base, celle qui doit être forte, c'est la dérivation.

Cordialement.

[invitecb3dc26d]

Salut, en ce moment je bloque sur l'IPP de x(arctan x)²dx

Je sais que j'ai considéré arctan(x) comme une constante et que j'ai pas le droit, mais une primitive de 2arctan(x)/(1+x²) c'est pas simple ...

Voilà ce que j'ai fais:




J'ai la correction, mais je ne comprend pas trop :

[gg0]

Bonjour.

Il n'y a aucune raison de répéter ce qui est dit dans ce corrigé bien expliqué. Lis-le soigneusement en faisant les calculs qu'il propose.

Pour ton "calcul", c'est du n'importe quoi :
f'=x f=1
depuis quand la dérivée de 1 est-elle x ??

Donc oublie ce que tu as fait et reviens sur terre.

Cordialement.

[invitecb3dc26d]

Oui f' = x et f = x²/2 pardon

dans la correction ils disent qu'une primitive de f' = x c'est 1/2(x²+1) mais pourtant x²/2 n'a rien à voir avec 1/2(x²+1)

[gg0]

Bien sûr que si ! Cherche un peu (niveau collège).

D'ailleurs, tu aurais dû dériver 1/2(x²+1) pour vérifier, au lieu de te dire bêtement "ça ne ressemble pas".

Toute fonction qui est une dérivée a une infinité de primitives (vu en cours !), il n'a jamais été dit que ces primitives doivent s'écrire de la même façon. par exemple 2sin(x)cos(x) a pour primitives sin²(x) et -cos²(x).

Mais as-tu vraiment appris ce qu'est une primitive (pas seulement comment les calculer) et compris pourquoi je te disais : "En fait, pour les primitives, il faut toujours penser aux techniques de dérivation (puisqu'on veut faire l'inverse) et la connaissance de base, celle qui doit être forte, c'est la dérivation." (message #15) ?

Cordialement.

[invitecb3dc26d]

Mais as-tu vraiment compris pourquoi je te disais : "En fait, pour les primitives, il faut toujours penser aux techniques de dérivation (puisqu'on veut faire l'inverse) et la connaissance de base, celle qui doit être forte, c'est la dérivation." (message #15) ?

Bah la réponse est dans la phrase "puisqu'on veut faire l'inverse" les primitives c'est des dérivées mais dans l'autre sens

[invite51d17075]

Bah la réponse est dans la phrase "puisqu'on veut faire l'inverse" les primitives c'est des dérivées mais dans l'autre sens

ce n'est pas exact dans l'absolu.
mais il est clair que l'on s'appuie énormément sur la connaissance des dérivations pour retrouver les primitives.

[gg0]

Effectivement, la réponse est dans la phrase. Je préférais préciser, vu ton message #18 où tu t'interroge sur le rapport entre la primitive de la correction et la tienne, alors qu'il te suffit de chercher le rapport avec la fonction à intégrer.

Et le lien entre deux primitives, c'est dans ton cours.

Cordialement.

[invite51d17075]

Je me permets d'ajouter que l'on peux retrouver des primitives de fonctions qui ne sont pas forcement dérivables "partout". ( je pense par exemple aux distributions )
mais c'est le genre de truc que l'on voit post-bac.