Démonstration propriétés parallélogrammes

[invite949a348a]

Bonjour,

1) Partant de ces définitions :
* un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
* un losange est un quadrilatère dont les 4 côtés sont égaux.

Comment démontrer qu'un losange est un parallélogramme ? Je ne parle pas de dire d'emblée qu'un losange est un parallélogramme particulier, je veux vraiment montrer à partir de la définition ci-dessus du losange qu'un losange est un parallélogramme. Peut-être faut-il d'abord démontrer qu'il a un centre de symétrie ? Il sera alors facile par conservation du parallélisme de conclure.

2) Grâce à la symétrie centrale, je pense savoir démontrer proprement qu'un parallélogramme a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, que ses côtés opposés sont égaux tout comme ses angles opposés (c'est très direct avec la symétrie centrale et ses propriétés de conservation). Mais : comment montrer qu'un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un parallélogramme, ou encore que si un quadrilatère a ses côtés (ou angles) opposés égaux alors c'est un parallélogramme (et je pense qu'ici je recoupe la 1)) au sens posséder des côtés opposés parallèles. Ces réciproques m'embêtent beaucoup...

Merci d'avance, je galère là-dessus
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[invite949a348a]

Je viens d'avoir une idée pour la 2) : si un quadrilatère a un centre de symétrie, alors en particulier ses côtés opposés sont parallèles, donc c'est un parallélogramme. Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors il a un centre de symétrie et on conclue de même (même si ce dernier "alors" me frustre un peu, ne peut-on pas le détailler davantage ?).
Mais toujours pas de piste pour "si un quadrilatère a ses côtés opposés égaux/angles opposés égaux alors c'est un parallélogramme"...

[gg0]

Bonjour.

Tout dépend de quelles propriétés tu disposes. Par exemple voici un chemin possible :
Soit ABCD un losange, notons I le milieu de la diagonale [AC]. Comme BA=BC, la médiane (BI) est aussi la médiatrice de [AC], donc elle passe aussi par D, puisque D est équidistant des points A et C. Donc l'angle en I entre (AC) et (BD) est droit, ce qui montre que AI est une hauteur du triangle isocèle BAD, et comme BA=BD cette hauteur est une médiane, donc I est aussi le milieu de [BD]. La suite, tu sais faire.

Cordialement.

[invite949a348a]

Merci pour ce retour N'y a t'il pas une petite erreur ? Ce n'est pas plutôt BA = AD ? Et ensuite, non, je ne vois pas comment le lier au parallélisme des côtés...

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Non, c'est bien BA=BC et la médiane du triangle isocèle ABC.

Pour le parallélisme, tu as parlé toi-même de symétrie. Tu as ce qu'il te faut, non ?

[duduch74]

Une piste : une définition alternative du parallélogramme est que c'est un quadrilatère qui a ses cotés opposés de même longueur. Donc si tu arrives à montrer l'équivalence entre ta définition et celle que je viens de te donner alors c'est gagné car un losange a ses cotés opposés de même longueur.

[gg0]

Attention, Duduch74,

"un quadrilatère qui a ses cotés opposés de même longueur" n'est pas toujours un parallélogramme, il faut en plus qu'il soit non croisé. Condition qui est très délicate à prouver.

Mais la fait que I soit un centre de symétrie pour le losange règle tout.

Cordialement.