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Combien de sous-ensembles dans un ensemble...




  1. #1
    andretou

    Combien de sous-ensembles dans un ensemble...

    Bonjour à tous
    Je sais qu'il existe 2N sous-ensembles d'un ensemble E contenant N éléments.
    Je sais également qu'il existe 2N-1 sous-ensembles de E contenant un élément déterminé.
    Mais pouvez-vous SVP m'aider à déterminer combien il existe de sous-ensembles de E contenant un élément déterminé et de tailles égales ou supérieures à N/2 ?
    Intuitivement je dirai qu'il existe autant de sous-ensembles de tailles inférieures à N/2 que de sous-ensembles de tailles supérieures à N/2, donc qu'il y en a 2N-1/2, mais je n'arrive pas à le démontrer.
    Merci pour votre aide

    -----

    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

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  3. #2
    Amanuensis

    Re : Combien de sous-ensembles dans un ensemble...

    Chaque sous-ensemble a un complémentaire, qui est aussi un sous-ensemble...

    (Attention à la parité de N.)
    Dernière modification par Amanuensis ; 07/06/2018 à 14h55.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  4. #3
    Médiat

    Re : Combien de sous-ensembles dans un ensemble...

    Bonjour,
    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    il y en a 2N-1/2, mais je n'arrive pas à le démontrer.
    Heureusement puisque c'est faux (visible facilement si N = 3)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse


  5. #4
    minushabens

    Re : Combien de sous-ensembles dans un ensemble...

    Il y a une bijection évidente entre l'ensemble des sous-ensembles de E contenant un certain x et l'ensemble des sous-ensembles de E\{x}

  6. #5
    andretou

    Re : Combien de sous-ensembles dans un ensemble...

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Bonjour,
    Heureusement puisque c'est faux (visible facilement si N = 3)
    En effet Médiat, si on considère un ensemble contenant 5 éléments A, B, C, D et E,
    - cela fait 25 = 32 sous ensembles
    - cela fait 24 = 16 sous-ensembles contenant A
    - soit :
    - 11 sous-ensembles contenant A dont la taille est supérieure (ou égale) à 2,5 : ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, ABCD, ABCE, ABDE, ACDE, ABCDE
    - et 5 sous-ensembles contenant A de taille inférieure (ou égale) à 2,5 : A, AB, AC, AD, AE

    Le nombre de sous ensembles contenant A et de taille supérieure à 2,5 est donc supérieur à 24/2 !...
    Comment déterminer le résultat ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Médiat

    Re : Combien de sous-ensembles dans un ensemble...

    Le cas N pair est facile, Le cas N impair est plus compliqué, je vous donne la formule, sa forme devrait vous indiquer une démonstration :

    , alors on trouve
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  9. #7
    andretou

    Re : Combien de sous-ensembles dans un ensemble...

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Le cas N pair est facile, Le cas N impair est plus compliqué, je vous donne la formule, sa forme devrait vous indiquer une démonstration :

    , alors on trouve
    Merci Médiat.
    Il s'agit de la formule donnant le nombre de sous-ensembles contenant l'élément A et de taille INFERIEURE à N/2 (pour N impair) ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

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