Combien de sous-ensembles dans un ensemble...

[andretou]

Bonjour à tous
Je sais qu'il existe 2^N sous-ensembles d'un ensemble E contenant N éléments.
Je sais également qu'il existe 2^N-1 sous-ensembles de E contenant un élément déterminé.
Mais pouvez-vous SVP m'aider à déterminer combien il existe de sous-ensembles de E contenant un élément déterminé et de tailles égales ou supérieures à N/2 ?
Intuitivement je dirai qu'il existe autant de sous-ensembles de tailles inférieures à N/2 que de sous-ensembles de tailles supérieures à N/2, donc qu'il y en a 2^N-1/2, mais je n'arrive pas à le démontrer.
Merci pour votre aide
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[Amanuensis]

Chaque sous-ensemble a un complémentaire, qui est aussi un sous-ensemble...

(Attention à la parité de N.)

[Médiat]

Bonjour,

il y en a 2^N-1/2, mais je n'arrive pas à le démontrer.

Heureusement puisque c'est faux (visible facilement si N = 3)

[invite9dc7b526]

Il y a une bijection évidente entre l'ensemble des sous-ensembles de E contenant un certain x et l'ensemble des sous-ensembles de E\{x}

[A voir en vidéo sur Futura]

[andretou]

Bonjour,
Heureusement puisque c'est faux (visible facilement si N = 3)

En effet Médiat, si on considère un ensemble contenant 5 éléments A, B, C, D et E,
- cela fait 2⁵ = 32 sous ensembles
- cela fait 2⁴ = 16 sous-ensembles contenant A
- soit :
- 11 sous-ensembles contenant A dont la taille est supérieure (ou égale) à 2,5 : ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, ABCD, ABCE, ABDE, ACDE, ABCDE
- et 5 sous-ensembles contenant A de taille inférieure (ou égale) à 2,5 : A, AB, AC, AD, AE

Le nombre de sous ensembles contenant A et de taille supérieure à 2,5 est donc supérieur à 2⁴/2 !...
Comment déterminer le résultat ?

[Médiat]

Le cas N pair est facile, Le cas N impair est plus compliqué, je vous donne la formule, sa forme devrait vous indiquer une démonstration :

, alors on trouve

[andretou]

Le cas N pair est facile, Le cas N impair est plus compliqué, je vous donne la formule, sa forme devrait vous indiquer une démonstration :

, alors on trouve

Merci Médiat.
Il s'agit de la formule donnant le nombre de sous-ensembles contenant l'élément A et de taille INFERIEURE à N/2 (pour N impair) ?