Sous espace engendré est inclu dans un ensemble

[invitea2257016]

Bonsoir à tous.

Alors voila, notre professeur de mathématiques nous a expliqué sous forme de démonstration comment démontrer qu'un sous espace engendré est inclu dans un ensemble, mais je ne comprends pas quelque chose qui est capital. Alors voila la démonstration:

Mq Vect(A) est inclu M

.Démontrons d'abord que A est inclu dans M
A=(x_i)_i€I
Pour tout i € I, x_i=1*x_i somme_j€J(a_jx_j) avec J={i} et a_j=1 € |R
Alors Pour tout i€I, x_i € M
Alors A est inclu dans M

En gros, je ne comprends pas en quoi cette ligne: "Pour tout i € I, x_i= somme_j€J(a_jx_j) avec J={i} et a_j=1 € |R" nous montre que A est inclu dans M, surtout qu'on ne sait même ce qu'est M!

Merci d'avance
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[Seirios]

Bonjour,

Tu n'as pas d'autres détails ? Comme ça, c'est plutôt flou...

[invitea2257016]

Non justement c'est vraiment tout! Apres on démontre juste que M est un espace vectoriel.

Edit: j'ai ca aussi:

On sait que Vect(A) est le plus petit sev contenant A.
Donc si on montre que M est un sev qui contient A on aura Vect(A) est inclu dans M
Montrons donc que M est un sev et que M contient A.

[invitea2257016]

Je m'étais trompé dans la demo j'avais fais une erreur, c'est ca:

Mq Vect(A) est inclu M

.Démontrons d'abord que A est inclu dans M
A=(x_j)_j€I
Pour tout i € I, x_i= somme_j€J(a_jx_j) avec J={i} et a_j=1 € |R
Alors Pour tout i€I, x_i € M
Alors A est inclu dans M

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Il y a forcément des conditions supplémentaires sur M ; si vraiment M était quelconque, A ne serait pas forcément incluse dans M, Vect(A) non plus, M ne serait pas nécessairement un espace vectoriel, etc.