Exercice suites (approfondi)

[Blackrafter]

Bonjour à tous !

Petit exercice de logique/réflexion d'un prof de maths sur les suites :

Énoncé original : Soit u une suite telle que pour tout n entier naturel : u(n) = if u(n+1) pas dans IN then 4 else u(n+1)+1.
Prouver que u(10) = 777

(Ma Traduction de l'énoncé) : u est une suite telle que pour tout n appartenant à IN ; u(n) = 4 ssi u(n+1) n'est pas un entier et u(n) = u(n+1)+1 ssi u(n+1) est un entier. Prouvez que u(10) = 777

En temps normal je vous aurais donné mes pistes, seulement dans ce cas, elles ne mènent vraiment pas loin puisque je formule que des hypothèses (et il y en a beaucoup), pour au final ne pas m'en sortir.

Merci !
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[gg0]

Bonjour.

Dit ainsi, l'énoncé est incorrect (*). Si u(n) est entier, c'est que u(n+1) = u(n)-1 est entier (*). Par récurrence, si u(0) est entier supérieur à p, tous les u(n) le sont pour 0<n<p.
Partant par exemple de u(0)= 20, ce qui permet d'utiliser u(n+1)=u(n)-1, on aboutit à u(10)=10.

NB : dans ta traduction de l'énoncé, tu as oublié que les entiers strictement négatifs ne sont pas dans IN.

Cordialement.

(*) on ne peut pas prouver.

[Blackrafter]

1- Je comprends par là que l'énoncé tel qu'il est formulé ne permet pas de prouver que u(10) = 777 puisqu'on peut trouver une suite qui répond aux conditions et dont u(10) = 10 ?

2- Effectivement, c'est une imprécision : "entier" est différent de "entier naturel" ou "|N"

Merci !

[gg0]

Désolé, mais j'ai mal compris cet énoncé, c'est sur u(n+1) que porte la condition, pas sur u(n). Donc l'énoncé est correct, mais il fait partie des affirmations A==> B qui sont vraies simplement parce que A ne l'est jamais.

Ici, c'est l'existence de u qui est en cause : Prenons u(0). Si c'est 4, u(1) n'est pas un entier naturel, donc pas 4, et donc u(2) doit être un entier naturel qui vaut 1 de moins que u(1) Tu vois la contradiction ?
De façon plus générale, si un u(n) vaut 4, on a la même situation. ce qui interdit aux termes d'être autre chose que des entiers naturels, sauf peut-être u(0).
Je te laisse examiner les autres cas de la même façon.

Encore désolé d'avoir réfléchi de travers, maintenant que je sais qui a posé cet exercice, je sais que j'aurais dû être plus rigoureux

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]