Une identité amusante

[Gui102]

Salut à tous!

En faisant quelques maths pour le fun l'autre jour je suis tombé sur une identité assez amusante.
Prenons un réel n, on peut trouver le carré du nombre situé à une distance a de n grâce à la formule suivante :
4an + (n-a)^2 = (n+a)^2

Cela reste vrai quelque soit a et n réels.

Alors certes, je ne crois pas que cela serve à grand chose. Toutefois, je la trouve mignonne cette identité. Et je serais curieux d'en avoir une interprétation géométrique...

Voilà pour le moment partage
-----

[gg0]

Bien vu !

C'est un classique, il y a une cinquantaine d'années, un amateur de math avait utilisé ce genre d'identité pour construire des "tables de multiplication". C'est un cas particulier de l'identité classique :
(a+b)²-(a-b)² = 4ab
Il y a aussi
(a+b)²+(a-b)² =2(a²+b²)

Ces deux identités servent dans certaines démonstrations de niveau post-bac.

Cordialement.

[Gui102]

Merci pour l'info! Est-ce qu'il existe ce type d'identité pour les cubes ?

[invite51d17075]

oui des identités dites remarques à l'ordre 3, comme par exemple.
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
qui peuvent être utiles

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Est-ce qu'il existe ce type d'identité pour les cubes ?

Plus "élégant" avec les puissances 4 :






etc.

[invitec512a61a]

Bonjour Gui !

Tu verras par la suite qu'on peut généraliser les identités dites remarquables avec ce qu'on appelle le binôme de Newton.


Tu comprendra en première S le qui se lit k parmi n

Cordialement

[invitedd63ac7a]

Alors certes, je ne crois pas que cela serve à grand chose

Si, a des choses intéressantes:
Je reprends ton égalité :
4an + (n-a)^2 = (n+a)^2 vraie pour tout réel a et n. Contentons-nous d'entiers naturels, et posons a=Aˆ2, n=Nˆ2. on replace dans l'égalité précédente, il vient:
4Aˆ2Nˆ2+(Nˆ2-Aˆ2)ˆ2=(Nˆ2+Aˆ2)ˆ2
qu'on peut écrire :
(2AN)ˆ2+(Nˆ2-Aˆ2)ˆ2=(Nˆ2+Aˆ2)ˆ2
autrement dit cette formule permet de donner ce qu'on appelle des triplets pythagoriciens : les triplets d'entiers x,y,z qui s'écrivent xˆ2+yˆ2=zˆ2.
Il suffit de donner à A et N les valeurs que l'on veut pour en obtenir.