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Une identité amusante



  1. #1
    Gui102

    Une identité amusante

    Salut à tous!

    En faisant quelques maths pour le fun l'autre jour je suis tombé sur une identité assez amusante.
    Prenons un réel n, on peut trouver le carré du nombre situé à une distance a de n grâce à la formule suivante :
    4an + (n-a)^2 = (n+a)^2

    Cela reste vrai quelque soit a et n réels.

    Alors certes, je ne crois pas que cela serve à grand chose. Toutefois, je la trouve mignonne cette identité. Et je serais curieux d'en avoir une interprétation géométrique...

    Voilà pour le moment partage

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    gg0

    Re : Une identité amusante

    Bien vu !

    C'est un classique, il y a une cinquantaine d'années, un amateur de math avait utilisé ce genre d'identité pour construire des "tables de multiplication". C'est un cas particulier de l'identité classique :
    (a+b)²-(a-b)² = 4ab
    Il y a aussi
    (a+b)²+(a-b)² =2(a²+b²)

    Ces deux identités servent dans certaines démonstrations de niveau post-bac.

    Cordialement.

  4. #3
    Gui102

    Re : Une identité amusante

    Merci pour l'info! Est-ce qu'il existe ce type d'identité pour les cubes ?

  5. #4
    ansset

    Re : Une identité amusante

    oui des identités dites remarques à l'ordre 3, comme par exemple.
    a3-b3=(a-b)(a²+ab+b²)
    a3+b3=(a+b)(a²-ab+b²)
    qui peuvent être utiles
    Dernière modification par ansset ; 30/07/2018 à 00h55.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  6. #5
    Médiat

    Re : Une identité amusante

    Citation Envoyé par Gui102 Voir le message
    Est-ce qu'il existe ce type d'identité pour les cubes ?





    Plus "élégant" avec les puissances 4 :






    etc.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    LucasPrimeDeX

    Re : Une identité amusante

    Bonjour Gui !

    Tu verras par la suite qu'on peut généraliser les identités dites remarquables avec ce qu'on appelle le binôme de Newton.


    Tu comprendra en première S le qui se lit k parmi n

    Cordialement

  9. Publicité
  10. #7
    eudea-panjclinne

    Re : Une identité amusante

    Citation Envoyé par Guy102
    Alors certes, je ne crois pas que cela serve à grand chose
    Si, a des choses intéressantes:
    Je reprends ton égalité :
    4an + (n-a)^2 = (n+a)^2 vraie pour tout réel a et n. Contentons-nous d'entiers naturels, et posons a=Aˆ2, n=Nˆ2. on replace dans l'égalité précédente, il vient:
    4Aˆ2Nˆ2+(Nˆ2-Aˆ2)ˆ2=(Nˆ2+Aˆ2)ˆ2
    qu'on peut écrire :
    (2AN)ˆ2+(Nˆ2-Aˆ2)ˆ2=(Nˆ2+Aˆ2)ˆ2
    autrement dit cette formule permet de donner ce qu'on appelle des triplets pythagoriciens : les triplets d'entiers x,y,z qui s'écrivent xˆ2+yˆ2=zˆ2.
    Il suffit de donner à A et N les valeurs que l'on veut pour en obtenir.

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