Géométrie plane

**mehdi_128** · 21/08/2018, 03h16

Bonsoir,

J'ai quelque peu honte de bloquer sur ce sujet d'oral de CAPES de maths de niveau collège/lycée

Nom : plane.png
Affichages : 1258
Taille : 208,9 Ko

1/ Analyser les productions des 3 élèves.
2/ Résoudre l'exercice.

L'élève 1 n'a donné qu'une conjecture donc insuffisant.

L'élève 2, il a oublié de citer le théorème de Thalès. Mais pour la suite je suis en plein doute :
$\text{[math]}$
On a bien AB diminue alors AH diminue. Mais si les 2 termes d'une fraction diminuent, on peut pas savoir lequel diminue le plus donc comment savoir si EH augmente, diminue ou reste constant ?

Pour l'élève 3, je ne sais même plus comment trouver l'équation d'une droite dans un repère qui n'est pas de la forme $\text{[math]}$ je ne sais plus comment faire dans un repère $\text{[math]}$
Mais je dirais que sa méthode est fausse car A et B sont fixes dans le repère $\text{[math]}$ donc il ne peut pas étudier les coordonnées de E quand A et B se rapprochent...

**Ragnis** · 21/08/2018, 08h52

Envoyé par mehdi_128

Bonsoir,

J'ai quelque peu honte de bloquer sur ce sujet d'oral de CAPES de maths de niveau collège/lycée

Pièce jointe 371761
1/ Analyser les productions des 3 élèves.
2/ Résoudre l'exercice.

L'élève 1 n'a donné qu'une conjecture donc insuffisant.

L'élève 2, il a oublié de citer le théorème de Thalès. Mais pour la suite je suis en plein doute :
$\text{[math]}$
On a bien AB diminue alors AH diminue. Mais si les 2 termes d'une fraction diminuent, on peut pas savoir lequel diminue le plus donc comment savoir si EH augmente, diminue ou reste constant ?

Si AB diminue alors AH/AB augmente, pourquoi voudrais tu obligatoirement que AH diminue ? Ce n'est pas obligatoire.
AB = Constante * AH/EH (constante c'est BC fixe)
Tu as deux choix soit AH diminue soit EH augmente.
Si EH augmente c'est donc faux. Si AH diminue ca ne veut pas dire que EH diminue.

**phys4** · 21/08/2018, 11h25

Envoyé par mehdi_128

Pour l'élève 3, je ne sais même plus comment trouver l'équation d'une droite dans un repère qui n'est pas de la forme $\text{[math]}$ je ne sais plus comment faire dans un repère $\text{[math]}$
Mais je dirais que sa méthode est fausse car A et B sont fixes dans le repère $\text{[math]}$ donc il ne peut pas étudier les coordonnées de E quand A et B se rapprochent...

Le raisonnement de l'élève 3 parait correct, une seule petite erreur, la droite AC s'écrit y = (l'/l)*x
En longueur absolue cela donne une hauteur de E égale l*l'/(l+l') correcte.
L'idée est donc correcte, avec une application pas assez rigoureuse.

**mehdi_128** · 21/08/2018, 11h39

Envoyé par Ragnis

Si AB diminue alors AH/AB augmente, pourquoi voudrais tu obligatoirement que AH diminue ? Ce n'est pas obligatoire.
AB = Constante * AH/EH (constante c'est BC fixe)
Tu as deux choix soit AH diminue soit EH augmente.
Si EH augmente c'est donc faux. Si AH diminue ca ne veut pas dire que EH diminue.

Merci c'est super clair

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**mehdi_128** · 21/08/2018, 11h41

Envoyé par phys4

Le raisonnement de l'élève 3 parait correct, une seule petite erreur, la droite AC s'écrit y = (l'/l)*x
En longueur absolue cela donne une hauteur de E égale l*l'/(l+l') correcte.
L'idée est donc correcte, avec une application pas assez rigoureuse.

J'ai une question comment trouver l'équation de la droite $\text{[math]}$ ?

Aussi : il considère dans le repère choisi que A et B sont fixes donc les coordonnées du points E trouvés sont correctes si A et B sont fixes ...
Mais nous on veut étudier le cas où A et B se rapprochent donc y a un problème dans son raisonnement non ?

**phys4** · 21/08/2018, 11h51

Pour préciser les coordonnées utilisées :
x est le rapport entre une distance de A à B et AB, donc x varie entre 0 et 1
L'unité en y vaut l, donc la longueur BC vaut l'/l dans les coordonnées utilisées. Vous en tirez donc l'équation y = (l'/l) * x
L'utilisation d'un repère avec une unité variable me semble permise à condition de remettre dans les unités absolues en fin de calcul. Les coordonnées ne servent qu'à calculer l'intersection !

Il faudrait tout de même encourager l'élève à utiliser des axes fixes !

**ansset** · 21/08/2018, 12h01

oui c'est très mal dit , d'ailleurs le 1 est aussi étrange.
les équations propres seraient:
y=l'(x/AB)
y=l(1-(x/AB))
soit
x=l*AB/(l+l') et y=l*l'/(l+l')
la hauteur de E est bien fixe , mais pas son abscisse.

**mehdi_128** · 21/08/2018, 12h09

D'accord mais j'ai toujours pas compris comment trouver l'équation de la droite (AC) dans le repère de l'élève

**ansset** · 21/08/2018, 12h10

Envoyé par mehdi_128

J'ai une question comment trouver l'équation de la droite $\text{[math]}$ ?

le repère de l'élève n'est pas clair du tout.
d'ailleurs son résultat est faux puisqu'il conclut que E est "fixe".
d'ailleurs, le question 2) est bien "résoudre cet exercice" !

concernant cette question , si ce n'est pas intuitif alors on peut poser
y(0)=l
y(x=AB)=0
avec y=ax+b
on en déduit
b=l
0=a*AB+l
a=-l/AB
y=-lx/AB+l
l=l(1-x/AB)

**mehdi_128** · 21/08/2018, 12h24

Je ferais dans le repère de l'élève :

(AC) : $\text{[math]}$

Or : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Donc : $\text{[math]}$

Mais : $\text{[math]}$ donc : $\text{[math]}$

**mehdi_128** · 21/08/2018, 12h32

Je suis encore dans le repère de l'élève, après on peut résoudre l'exo dans un repère orthonormé.

Pour la droite (BD) : $\text{[math]}$ où : $\text{[math]}$

Or : $\text{[math]}$

donc : $\text{[math]}$

**mehdi_128** · 21/08/2018, 12h38

Dans les repère de l'élève je trouve :

$\text{[math]}$

Je dois tout refaire en prenant un repère orthonormal ?

**mehdi_128** · 21/08/2018, 12h43

Envoyé par ansset

oui c'est très mal dit , d'ailleurs le 1 est aussi étrange.
les équations propres seraient:
y=l'(x/AB)
y=l(1-(x/AB))
soit
x=l*AB/(l+l') et y=l*l'/(l+l')
la hauteur de E est bien fixe , mais pas son abscisse.

Je suis d'accord, comme on veut rapprocher A et B il nous faut un repère orthonormé.
Pour la hauteur ça change rien de prendre un repère fixe car les distances ne varient pas.

**ansset** · 21/08/2018, 13h04

Envoyé par mehdi_128

Pour la hauteur ça change rien de prendre un repère fixe car les distances ne varient pas.

Comprend pas ce que tu dis. ?

1)Le fait est qu'il prend l=1 donc considère un nouveau l₁' sans le dire qui correspondrait à l'/l
il considère aussi indirectement que AB=1 en écrivant
y=lx
y=1-x
2)mais ses équations dépendent indirectement de AB , ce qui est contradictoire.
ce qui conduit à dire faussement que le point E est fixe.
en fait c'est x(E)/AB qui est constant. donc conclusion fausse.
3) de ce fait que y(E) est lui fixe n'est pas très clairement démontré.

c'est bien pour ces raisons qu'on demande dans la deuxième question de "résoudre le pb".
En prenant un seul repère fixe.

**ansset** · 21/08/2018, 13h10

au final son résultat pour y(E) est juste mais pas la démo.

**ansset** · 21/08/2018, 13h38

ps, il est même plus rapide de reprendre Thalès mais en l'écrivant autrement
HE/l'=x/AB
HE/l=(AB-x)/AB=1-x/AB=1-HE/l'
on obtient directement le résultat de HE fixe, sans passer par le calcul de x.

**mehdi_128** · 21/08/2018, 16h19

Envoyé par ansset

ps, il est même plus rapide de reprendre Thalès mais en l'écrivant autrement
HE/l'=x/AB
HE/l=(AB-x)/AB=1-x/AB=1-HE/l'
on obtient directement le résultat de HE fixe, sans passer par le calcul de x.

D'accord, je vais commencer par la première méthode.
Soit un repère orthonormé d'origine A et d'axes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
Soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Équation de la droite (AC) :
$\text{[math]}$

Équation de la droite (BD):
$\text{[math]}$

Coordonnées du point E :
$\text{[math]}$

Donc si A et B se rapprochent, $\text{[math]}$ reste constant.

Or $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ donc : $\text{[math]}$

D'où : $\text{[math]}$

Donc la distance EH est constante et ne varie pas.

J'ai une question : vous pensez que je peux illustrer ça sur Géogebra ? En approchant les points A et B ? C'est faisable ?

**ansset** · 21/08/2018, 16h30

oui, très facile à construire avec des points et des segments reliant les points.

mais faignant comme je suis, je n'ai tj pas trouvé la méthode pour enregistrer l'image et la poster.
( il faut créer un compte , etc ….. )

**mehdi_128** · 21/08/2018, 16h40

Envoyé par ansset

oui, très facile à construire avec des points et des segments reliant les points.

mais faignant comme je suis, je n'ai tj pas trouvé la méthode pour enregistrer l'image et la poster.
( il faut créer un compte , etc ….. )

Je vais essayer, je dois maitriser cela pour le CAPES, ça sera un plus d'illustrer les solutions sur Géogebra.

Pour la méthode de Thalès, j'ai trouvé la solution aussi

Dans le triangle ABC :

$\text{[math]}$

Dans le triangle BAD :

$\text{[math]}$

Donc : $\text{[math]}$ soit : $\text{[math]}$

Alors : $\text{[math]}$

Ainsi : $\text{[math]}$

Conclusion : $\text{[math]}$

**ansset** · 21/08/2018, 17h16

c'est correct , remarque, tu recopies la solution que j'avais proposée.
tout comme la précédente.

**mehdi_128** · 21/08/2018, 17h43

J'ai utilisé Géogebra la formule est juste mais je n'arrive pas à rapprocher les points A et B : comment faire ?

Petite erreur c'est AB=6cm

Nom : exo.png
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**ansset** · 21/08/2018, 17h55

la relation est vrai pour tout AB
il te suffit de placer les points ABCD voulus , puis les segments AB,BC,AD, AC et DB, et le premier EH
puis un autre B' de même hauteur que B , plus prêt de A et de retracer les segments nécessaires.

**mehdi_128** · 21/08/2018, 18h30

En réduisant AB de 6 cm à 4 cm on retrouve la même valeur de EH

Nom : final.png
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**jacknicklaus** · 22/08/2018, 08h53

vois la notion de curseur sur Geogebra.

http://www.univ-irem.fr/lexique/res/...s_curseurs.pdf

En agissant sur ce curseur, tu feras bouger toute ta construction "en temps réel".

**mehdi_128** · 23/08/2018, 00h08

Envoyé par jacknicklaus

vois la notion de curseur sur Geogebra.

http://www.univ-irem.fr/lexique/res/...s_curseurs.pdf

En agissant sur ce curseur, tu feras bouger toute ta construction "en temps réel".

Wow je me disais bien c'est super utile, ça gagne du temps. Merci.

**mehdi_128** · 23/08/2018, 00h18

Dommage ils expliquent pas comment l'utiliser sur une figure

**henryallen** · 23/08/2018, 08h15

Bonjour,

Je ne suis pas un pro de Géogebra, mais je pense que c'est faisable ainsi:

On définit le point B, peu importent son abscisse et son ordonnée. Pour le point C, on le définit ainsi: C=(x(B), l) où l'on remplace l par une valeur quelconque (positive), et on pourrait même si on le souhaitait (mais ce n'est pas vraiment le but ici) créer un curseur pour ça. Ensuite on crée un curseur (disons h), qui peut varier de 0 à 10 (par exemple). On définit alors le point A, qui a la même ordonnée que B (facilitons-nous la vie, n'allons pas faire un trapèze penché) et dont l'abscisse est l'abscisse de B à laquelle on ôte h. On construit le point D de manière analogue à la construction du point C (même abscisse que A, ordonnée quelconque), et donc on a notre trapèze dont on peut modifier la longueur AB.

On crée alors les segments [AC] et [BD], et on définit le point E comme étant l'intersection de ces deux segments. Finalement, le point H a la même abscisse que E, et son ordonnée est celle de A et de B. La figure est terminée.

Mais l'intérêt étant de voir si la longueur EH est modifiée, on crée une variable qui prend la valeur de la longueur EH, et voilà: ne reste plus qu'à modifier la valeur de h pour faire bouger le point A et voir si la longueur EH en est modifiée.

Bonne journée.

**mehdi_128** · 27/08/2018, 03h07

Envoyé par henryallen

Bonjour,

Je ne suis pas un pro de Géogebra, mais je pense que c'est faisable ainsi:

On définit le point B, peu importent son abscisse et son ordonnée. Pour le point C, on le définit ainsi: C=(x(B), l) où l'on remplace l par une valeur quelconque (positive), et on pourrait même si on le souhaitait (mais ce n'est pas vraiment le but ici) créer un curseur pour ça. Ensuite on crée un curseur (disons h), qui peut varier de 0 à 10 (par exemple). On définit alors le point A, qui a la même ordonnée que B (facilitons-nous la vie, n'allons pas faire un trapèze penché) et dont l'abscisse est l'abscisse de B à laquelle on ôte h. On construit le point D de manière analogue à la construction du point C (même abscisse que A, ordonnée quelconque), et donc on a notre trapèze dont on peut modifier la longueur AB.

On crée alors les segments [AC] et [BD], et on définit le point E comme étant l'intersection de ces deux segments. Finalement, le point H a la même abscisse que E, et son ordonnée est celle de A et de B. La figure est terminée.

Mais l'intérêt étant de voir si la longueur EH est modifiée, on crée une variable qui prend la valeur de la longueur EH, et voilà: ne reste plus qu'à modifier la valeur de h pour faire bouger le point A et voir si la longueur EH en est modifiée.

Bonne journée.

J'ai testé ça marche nikel merci pour l'aide

**ansset** · 27/08/2018, 10h00

ps; cet exercice illustre bien la nature des oraux au Capes. Ainsi que la "hauteur" que j'évoquais plus haut.
ici , il ne s'agit pas uniquement de résoudre l'exercice, mais bien d'expliquer en quoi ( et pourquoi ) les trois assertions des élèves sont fausses ou incomplètes.
avant de proposer une démo juste. ( question 2 )
et cette démo "juste" ne passe pas par une simple illustration "geogébra".

Géométrie plane