Calculer x^6+y^6+x^3 y^3

**elbasrouisama** · 04/11/2018, 13h17

Bonjour,

Si x^2+y^2+x y=4 et x^4+y^4+x^2 y^2=8

Calculer x^6+y^6+x^3 y^3

Quelque peut m'aider ??
Merci.

**skeptikos** · 04/11/2018, 14h54

Bonjour,
je ne sais si c'est la bonne voie mais à ta place je testerais la première équation en divisant chaque terme par y² afin d'obtenir une équation du 2e degré de l'inconnue x/y.
si par bonheur ce sont des nombres entiers premiers entre eux ainsi tu connaitras x et y.
@+

**skeptikos** · 04/11/2018, 15h04

Pouvez vous supprimer mon message précédent . C'est une erreur.
Merci

**skeptikos** · 04/11/2018, 15h13

Bonjour,
x=0 et y=2 est une solution de la première équation.
@+

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**jacknicklaus** · 04/11/2018, 16h18

tu peux commencer par faire 4 x 8 = 32. ce qui te donne les termes $\text{[math]}$ + quelques autres, que tu peux essayer d'exprimer avec les termes connus.

Autre méthode, plus bourrin :; changer de variable en posant S = (x+y) et P = xy
Tu peux exprimer $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ en fonction de S et P, et résoudre pour trouver leurs valeurs.
Ensuite même méthode pour exprimer $\text{[math]}$ en fonction de S et P, et tu remplaces.

**elbasrouisama** · 04/11/2018, 16h35

Bonjour Jacknickalaus, j'ai essayé la première méthode déjà mais j'ai pas réussi a exprimer les autres termes en fonctions des autres qui sont connus.....

**jacknicklaus** · 04/11/2018, 16h44

la seconde méthode fonctionne. C'est un peu calculatoire, sauf erreur de ma part, on trouve une expression avec des racine(6)

**elbasrouisama** · 04/11/2018, 16h47

ok je vais l'essayer

**elbasrouisama** · 04/11/2018, 17h17

malheureusement j'ai j'ai pas réussi même avec la 2éme .....

**elbasrouisama** · 04/11/2018, 17h24

le problème c'est qu'elle aura pas seulement une seule valeur pour S et P , car x et y peuvent prendre 4 valeurs (puissance 4) . j'ai même vérifié avec mathematica.
la méthode doit être la première.

**Dynamix** · 04/11/2018, 17h25

Salut
Une piste :

x²+y²+xy = 4 => x²+y² = 4-xy
x⁴+y⁴+x²y² = 8 => (x²+y²)²-(xy)² = 8

**jacknicklaus** · 04/11/2018, 17h31

Envoyé par elbasrouisama

le problème c'est qu'elle aura pas seulement une seule valeur pour S et P , car x et y peuvent prendre 4 valeurs (puissance 4) . j'ai même vérifié avec mathematica.
la méthode doit être la première.

non car P+4 = S² impose une seule valeur de P, celle supérieure à -4. De même le signe de S on s'en fiche, tout s'exprime seulement avec S². la méthode marche bien, c'est juste un peu de calcul.

Le truc est bien là, on s'enfiche des valeurs de x et y qui peuvent avoir 4 solutions. C'est S² et P qui comptent.

**elbasrouisama** · 04/11/2018, 17h40

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tu peux vérifier à partir des valeurs que P va avoir deux valeurs

**jacknicklaus** · 04/11/2018, 17h44

alors je te laisse faire si tu penses que la méthode que j'ai proposée est fausse.
désolé.

**elbasrouisama** · 04/11/2018, 17h47

non, c'est ma faute hhhh, P toujours égale a 1

**elbasrouisama** · 04/11/2018, 17h53

d’après la piste que dynamix m'a donné, j'ai trouver que xy=1 et x^4+y^4=7.
et d'après l'utilisation de la première méthode j'ai trouver que x^6+y^6+x^3 y^3 égale 19.
j’espère que c'est correct xD

**jacknicklaus** · 04/11/2018, 18h25

le changement de variable Z = x²+y², P = xy proposé par Dynamix est plus efficace que celui que j'avais proposé S² = (x+y)², P = xy. Mais au final on retombe bien sur S² = 5 et P = 1 d'où l'expression demandée = 19.

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