nombre de chiffres de 2016^2016

[elbasrouisama]

Bonjour,
quelque peut m'aider a trouver le nombre de chiffres de 2016^2016 ?

Merci
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[epiKx]

Qu'as-tu essayé? Je suppose (tu ne l'as pas précisé) que tu veux le résultat en base 10. Saurais-tu résoudre le même problème pour n quelconque et non plus ?

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penser à passer au log

Cdlt,
epiKx.

[elbasrouisama]

c'est une exercise pour des élevés qu'ont aucune connaissance sur log ou les bases xD

[danyvio]

c'est une exercise pour des élevés qu'ont aucune connaissance sur log ou les bases xD

ça va être compliqué

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

On peut toutefois trouver un encadrement à quelques centaines de chiffres près sans calculatrice et sans trop souffrir :



Ensuite, comme , alors

Et comme , alors

Ainsi,

Finalement



Donc a entre et chiffres

[minushabens]

Tu peux calculer une approximation en écrivant 2016 = 1.008 * 2 * 1000 puis en calculant 1.008^2016, 2^2016 et 1000^2016. Le dernier facteur est facile à calculer... et pour le premier tu peux utiliser l'approximation (1+h)^x ~ 1+hx (qui doit être assez mauvaise ici, mais bon...). Cela dit des élèves qui ne connaissent pas le logarithme ne sont pas censés connaître les développements limités...

[ansset]

c'est une exercise pour des élevés qu'ont aucune connaissance sur log ou les bases xD

est ce un exercice de cours ou une interrogation personnelle ?

[elbasrouisama]

c'est un exercice de cours bien sûr(1ere année secondaire, maroc). merci pour vos aides.
j'ai aimé la méthode de tryss

[ansset]

tu peux aussi affiner à la calculette l'approche de Tryss
2.016^3=8.19354=10*(0,819353)
2.016^(3*672)=(10^672)(0,81935 3)^672
= env(10^672)(7*10^(-59)) à la calculatrice pour le second terme.
soit 10^(613)<2.016^(3*672)<10^(614 )
d'où un résultat entre 2661 et 2662 si je n'ai pas fait de boulette

[ansset]

edit : pas très utile de ma part, car autant demander à la calculette l'équivalent de la formule de départ !

[Tryss2]

Et, la méthode que j'ai proposée permet d'améliorer le résultat : au lieu de prendre 2.016^3 < 10 < 2.016^4, on peut prendre 2.016^9 < 10^3 < 2.016^10, ce qui permet de faire baisser la marge d'erreur à ~70 chiffres (soit une erreur de l'ordre de 1%) tout en restant encore raisonnable à calculer