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Démontrer que trois points sont alignés.




  1. #1
    Matlabo

    Démontrer que trois points sont alignés.

    Bonjour;

    On ABCD un parallélogramme, O est son centre de symétrie. A et I sont symétrique par rapport à B et J et A sont symétriques par rapport à la droite (BD).


    1) Démontrer que les points I, C et J sont alignés ?

    Voila comment je m'y suis pris:
    *On a I symétrique de A par rapport à B.
    * C symétrique de A par rapport à O.
    *Et J symétrique de A par rapport à (BD) donc aussi à (BO),

    et en posant le point F comme point d'intersection des droites (BD) et (AJ)

    J est aussi symétrique de A par rapport à F



    Et la Je ne vois pas vraiment comment continuer ....

    Merci de votre aide.

    -----

    Dernière modification par Matlabo ; 09/02/2019 à 10h57.

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  3. #2
    gg0

    Re : Démontrer que trois points sont alignés.

    Bonjour.

    Connais-tu le théorème du segment des milieux : Dans un triangle, le segment qui joint les milieux de deux des côtés est parallèle au troisième. Cela suffit à prouver que (JC) et (IC) sont parallèles.

    Cordialement.

  4. #3
    Matlabo

    Re : Démontrer que trois points sont alignés.

    Donc, on a :

    Dans le triangle ACJ , O milieu de [AC] et F milieu de [AJ], donc selon le théorème du segment de milieux (OF) // (CJ), donc (BF) // (CJ).

    Dans le triangle AIJ, B milieu de [AI] et F milieu de [AJ], donc selon le théorème du segment de milieux (BF) // (JI).

    Puisque (BF) // (CJ) et (BF) // (JI), on en déduit que (CJ) // (JI) et donc C, J, I sont allignés .


    Merci!!, Enfaîte peut-on le démontrer en utilisant une notion de Transformation géométrique tel que la symétrie par rapport à un point ou bien par rapport à une droite ....??


  5. #4
    gg0

    Re : Démontrer que trois points sont alignés.

    Tu veux dire montrer que I, C et J sont les images de trois points alignés par une transformation qui conserve l'alignement ? Lesquels ?? Laquelle ?

    En général, en géométrie, on utilise ce qu'on peut. Donc si tu as une idée de preuve, mets-la en œuvre. Moi, je t'ai donné un outil encore plus élémentaire, ça me semble bien suffisant.

    Cordialement.

  6. #5
    Matlabo

    Re : Démontrer que trois points sont alignés.

    Désolé de vous solliciter encore une fois mais y'a une autre question où de l'aide sera la bienvenue ...

    E est le point d'intersection des droites (AJ) et (DC). On considéré homothétie h dont le centre est J et qui transforme E en A.

    Quel est l'image de la droite (EC) et du point C avec l'homothétie h ???

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Matlabo

    Re : Démontrer que trois points sont alignés.

    Je pense qu'il faudrait d'abord trouver le rapport de h ?

  9. #7
    Matlabo

    Re : Démontrer que trois points sont alignés.

    quelqu'un saurait comment s'y prendre?

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  11. #8
    gg0

    Re : Démontrer que trois points sont alignés.

    Pas besoin de connaître le rapport : Une homothétie transforme une droite en une droite parallèle. Comme tu connais l'image de E ...

    Cordialement.

  12. #9
    Matlabo

    Re : Démontrer que trois points sont alignés.

    Oui, h(E) = A,.... Pour trouver l'image de (CE) faut trouver l'image de C tout d'abord ... mais je vois pas comment faire, Vous pouvez être un poil plus explicite ?

  13. #10
    gg0

    Re : Démontrer que trois points sont alignés.

    Tu pourrais au moins faire l'effort de lire ce que je te dis, de regarder la figure avec ça en tête et de trouver la réponse. Non, on n'a pas besoin de trouver l'image de C d'abord. On la trouvera si nécessaire ensuite.

  14. #11
    Matlabo

    Re : Démontrer que trois points sont alignés.

    A vue d’œil je vois trés bien que l'image de (CE) avec h est (AI) et l'image de C est I. Mais je cherche à le trouver de manière "algébrique" et non à vue d'oeil
    Dernière modification par Matlabo ; 09/02/2019 à 21h23.

  15. #12
    Matlabo

    Re : Démontrer que trois points sont alignés.

    Enfin.. comment démontrer cela ?

  16. #13
    gg0

    Re : Démontrer que trois points sont alignés.

    En appliquant le théorème que je t'ai donné. De façon géométrique.

    S'il n'est pas dans ton cours, si tu ne veux pas l'utiliser, si tu veux absolument le trouver de manière "algébrique" démontre ce que tu as vu avec les propriétés vectorielles de l'homothétie. Après-tout, c'est ton exercice, c'est à toi de travailler ...

  17. #14
    Matlabo

    Re : Démontrer que trois points sont alignés.

    Re-


    vous pouvez me dire si cette démonstration est juste ?

    La voici;

    Puisque I est la symétrique de A par rapport à B, et que (AB) // (DC) et que E appartient à (DC) donc (AI) // (EC) et que h(E) = A (Car h est l'homothétie qui transforme E en A, Et E c'est le point d'intersection de (AJ) et (DC) ) DONC (AI) est l'image de (EC) avec l'homothétie h.

    Merci !
    Dernière modification par Matlabo ; 12/02/2019 à 21h08.

  18. #15
    gg0

    Re : Démontrer que trois points sont alignés.

    Que c'est compliqué !

    L'homothétie h transforme la droite (DC) qui contient E en sa parallèle passant par A, (AB).

    C'est tout; et ça suffit.

    Pour la suite, si on cherche l'image de C par h, tu pourras remarquer :
    I, symétrique de A par rapport à B est sur (AB).

    Inutile de rajouter des circonstances oiseuses.

    Cordialement.

  19. #16
    Matlabo

    Re : Démontrer que trois points sont alignés.

    Ah oui. Ok trés bien

    Merci

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