modélisation de la réflexion d'un rayon lumineux

[Yvan_Delaserge]

Bonsoir,

Je cherche à modéliser le comportement d'un réflecteur parabolique.
L'étape actuelle consiste à déterminer où se trouve le foyer (le point F) de la parabole.



On se trouve dans un plan x,y. Sur ce plan, on connaît les coordonnées de deux points, P1 et P2. (Ces deux points font partie d'un ensemble de points mesurés le long d'un des rayons d'une parabole existante et une fois que l'on disposera de la formule correcte, on fera les calculs pour toutes les paires de points adjacents).

Tout d'abord, on recherche les coordonnées de Pm, le point milieu de la droite. J'arrive à la formule suivante:

xpm= (xp2-xp1)/2 + xp1

ypm= (yp2-yp1)/2 + yp1

Est-ce que cela vous paraît correct?

Ensuite, il s'agit de déterminer la valeur de y du point F (le foyer de la parabole), qui se trouve à l'intersection de l'axe y et du rayon réfléchi.

On sait que l'angle alpha entre le rayon incident (vertical) et une perpendiculaire à la droite P1-P2 est le même qu'entre ladite perpendiculaire et le rayon réfléchi.

Comment procéder?

Merci d'avance pour vos idées.
Cordialement,
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[gg0]

En attendant que ton texte soit validé, une remarque : Si A(a,a') et B(b,b') sont deux points, le milieu de [AB] a pour coordonnées :

(vu en seconde)

[gg0]

OK.

Je suppose que ta droite P1P2 modélise le tracé local de la parabole. Ce qui peut poser problème, j'y reviendrai. En tout cas, ton angle alpha a un lien avec la "pente" de (P1P2), l'angle que fait cette droite avec "l'horizontale", la droite parallèle à Ox passant par Pm.
Le problème : Si les points P1 et P2 ne sont pas parfaitement déterminés, l'angle alpha peut varier fortement; une petite imprécision sur P1 donnera une grande imprécision sur P2, sauf si P1 et P2 sont très éloignés (mais tu parles de "points adjacents" !).

Je ne comprends pas ce que tu cherches, vu que tu cherchais jusque là l'équation de la parabole qui permet d'avoir immédiatement le foyer.

Cordialement.

[Yvan_Delaserge]

Bonjour gg0 et merci déjà pour la formule permettant de définir le point milieu. Elle est plus pratique que la mienne,car on n'a pas besoin de prendre garde à ce que les valeurs de P2 soient supérieures à celles de P1.
Le projet que je cherche à faire est le suivant:
Je suis radio-amateur et je dispose d'une parabole métallique de caractéristiques inconnues. Elle a été récupérée à la ferraille par un ami qui me l'a donnée, mais elle est solide et en bon état.
Une parabole est réalisée comme tout objet manufacturé, avec des tolérances, qui affectent ses dimensions.
Une parabole comme la mienne peut être utilisée pour des ondes de fréquences allant de 500 MHz a 24 GHz ou meme davantage.
Or, on sait qu'une parabole, pour etre utilisable a une certaine fréquence, doit présenter des tolerances (par rapport à un paraboloide de révolution parfait) inférieures à 1/16 de longueur d'onde.
Ce qui représente, pour la bande radio-amateur des 23 cm: 1,5 cm.
Pour celle des 13 cm: 7 mm. Si on souhaite l'utiliser pour la réception d'un satellite de télévision commerciale (12 GHz), la tolérance doit être inferieure à 1,5 mm.
Dans tous les cas, (si on raisonne en termes de rayons lumineux arrivant d'une tres grande distance et d'une direction parallele a l'axe de revolution du paraboloide)il faut que:
a) tous les rayons recueillis par la parabole, soient reflechis vers le foyer.
b) que tous les rayons parcourent une distance identique depuis la source (très éloignée, tous les rayons sont paralleles) jusqu'au foyer de la parabole. On en a parlé dans un fil il y a quelques jours et ce point à pu être établi avec certitude.
J'ai de bonnes raisons de penser que la surface de ma parabole présente des tolérances de fabrication relativement importantes, parce que les essais de réception de satellites de télévision commerciale que j'ai faits ont donné de mauvais résultats.
Pour savoir ce qu'il en est exactement, j'ai construit un banc de mesures qui va me permettre de mesurer la profondeur de la parabole le long d'une ligne allant de la périphérie au centre. La parabole mesure 1 m 40 de diamètre. Dans un premier temps, je vais mesurer disons tous les centimètres. Cela va me donner 70 points.
Je vais reporter ces 70 points dans une feuille Excel et les comparer à ceux obtenus avec la formule d'une parabole parfaite. Grâce à ton aide (voir un des fils précédents sur les coniques) je sais maintenant que pour un diamètre et une profondeur données, une parabole parfaite ne peut avoir qu'une seule et unique forme.
En déterminant les dimensions exactes des tolérances de fabrication de la parabole, je saurai la fréquence maximale d'utilisation de la parabole.
Dans un deuxième temps, j'aimerais calculer, au moyen de la feuille Excel, la forme que devrait avoir un réflecteur secondaire que je pourrais ajouter, de manière à réaliser une antenne Cassegrain.
Si la forme de la parabole était exactement celle d'un paraboloide de révolution, le réflecteur secondaire devrait être un hyperboloide de révolution. Mais il y a une infinité d'hyperboles possibles, comme on l'a vu ensemble dans le fil intitulé les coniques.
En modelisant la forme réelle de ma parabole en une série de réflecteurs élémentaires définis chacun entre deux points mesures, il devrait être possible d'établir la forme d'un réflecteur secondaire, qui permettrait de corriger l'astigmatisme de la parabole, en lui donnant une forme quasi-hyperbolique, mais tenant compte de la forme réelle de la parabole. Pour cela, il faudrait que les deux conditions a) et b) ci-dessus soient réalisées.
J'ai été un peu long,désolé. En tout cas, merci de ton intérêt pour mon projet. Et aussi de ton efficacité. En trois fils, déjà trois problemes résolus!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Yvan_Delaserge]

Voici une solution possible du problème. Qu'en pensez-vous?



La droite P1-Pm-P2, le rayon incident et le rayon réfléchi définissent plusieurs angles. On voit que:

= 90 degrés.

La tangente de l'angle = côté opposé /côté adjacent.

= arctg (xp2-xp1) / (yp2-yp1)

= 90 -

= 90 - 2

yF = tangente * xPm

où yF représente la position du foyer sur l'axe y et xPm représente la position en x du point milieu Pm.


Est-ce que cela vous semble correct?

Si oui, est-ce qu'il existe une solution plus simple/élégante?
Je pose la question parce que je crois me rappeler que la fonction arctg est relativement lente sur Excel et si elle doit être exécutée de nombreuses fois, j'ai peur que cela ralentisse trop la feuille de calcul. Est-il possible de trouver yF sans faire appel aux fonctions trigonométriques?

Merci d'avance.

Cordialement,

[gg0]

En connaissant P1 et P2, tu connais directement l'angle alpha (voir mon message #3). Et c'est bien une arctangente qui permet de le calculer. Si tu veux éviter cette fonction, il faut renoncer à calculer alpha.
J'ai l'impression que tu t'es lancé dans un travail qui te dépasse un peu, sauf si tu décides d'apprendre les théories que tu emploies (géométrie analytique, théorie des coniques) et évidemment, la réalisation pratique d'un réflecteur quasi-hyperbolique.

Bon courage !

[Yvan_Delaserge]

OK merci gg0.
Les connaissances de ces théories sont anciennes en ce qui me concerne et ne demandent qu'à être reactivees!
Pour la réalisation pratique, il existe plusieurs possibilités. La plus performante serait probablement l'impression 3d.
La dernière formule de mon message précédent comporte une erreur.
yF = (tangente delta * xPm) + yPm.

[Yvan_Delaserge]

Voilà, j'ai reporté les formules sur une feuille Excel.



Si l'on utilise la formule habituelle pour trouver la focale d'une parabole, on obtient 612,5 mm pour celle-ci, dont le diamètre est de 1400 mm et la profondeur de 200 mm.

Les distances focales se trouvent à la colonne M. Elles sont calculées avec la méthode exposée ci-dessus, pour un rayon frappant le centre (Pm) de chaque mini-réflecteur (droite Pn-Pn+1).

J'ai "nourri" la feuille avec des valeurs x et y calculées, correspondant à une parabole parfaite(colonnes B et C).
On s'attendrait donc à ce que toutes les distances focales soient identiques. Eh bien non!

On voit que le résultat est proche de 613 mm, comme prévu, mais par contre, pour les points proches du centre de la parabole, l'erreur augmente.

C'est probablement dû à la méthode de subdivision du profil courbe de la parabole par des mini-réflecteurs rectilignes. C'st ce que disait gg0 en #3.

[Yvan_Delaserge]

Voilà, j'ai introduit un facteur de correction qui me permet d'arriver à une précision suffisante.

Il consiste à calculer le point de réflexion non pas au milieu de la droite P1-P2, mais en un point légèrement décalé vers le centre de la parabole, de manière à ce que tous les mini-miroirs réfléchissent chacun leur rayon incident ( vertical ) exactement vers le foyer.

Naturellement, le taux de correction varie avec la distance entre le mini-miroir et le centre de la parabole. C'est au centre qu'il est le plus fort.

Le décalage se réalise simplement en modifiant le diviseur la formule donnée par gg0 en #2.
En divisant par un nombre légèrement supérieur à 2, on décale le point de réflexion légèrement vers le centre de la parabole.



Comme on peut le voir colonne N, le point focal est ainsi de 612,8 mm pour tous les points de la parabole. A 3 dixièmes de millimètre de ce qui est obtenu par la formule habituelle. La précision est suffisante.