Bonjour
Une fonction dans un bac étranger.
fk(x)=(x+1)²*e^(-kx), k paramètre dans IR
Etudier f.
Par produit, f dérivable sur IR
fk'(x)=(x+1)*(2-k(x+1)).
fk'(x) >= 0 équivaut à x>= -1 ET x<= 2/k -1
Comment placer dans le tableau de variation -1 et 2/k -1 ?
Merci pour des réponses.
Dernière modification par kaderben ; 15/07/2019 à 19h37. Motif: faute de frappe
ta dérivée semble fausse déjà il te manque un e-kx.
Bonjour.
Il est facile de trouver la position de -1+2/k par rapport à -1 suivant les valeurs de k. Et donc d'éviter l'erreur "k'(x) >= 0 équivaut à x>= -1 ET x<= 2/k -1".
Si k est vraiment un réel quelconque, il faut étudier le cas particulier k=0 (pas de 2/k -1 dans ce cas !!)
Bonne réflexion !
outre le cas k=0.
ici tu as
fk'(x)=a(x)b(x)e(-kx)
le signe de fk'(x) est celui du produit a(x)b(x). ( avec b qui dépend de k)
un produit est positif quand les deux termes sont positifs ou quand les deux termes sont négatifs.
c'est la première approche que tu peux prendre.
l'autre approche est de développer a(x)b(x) qui est un polynôme du second degré ( dont les termes a,b et c dépendent de k )
ax²+bx+c avec ici a=-k ( dont le discriminant est évident, et pour lequel on retrouve les racines )
On sait que si a<0 , le polynôme est positif entre les racines, et de même
si a >0 , il est positif à l'extérieur des racines.
J'ai écrit:
C'est du n'importe quoi ! Et pourtant je savais que le signe de A*B dépend du signe de A et celui de B ( la règle des signes !)fk'(x) >= 0 équivaut à x>= -1 ET x<= 2/k -1
Si k=0 alors f0(x)=(x+1)².
-1+2/k -(-1)=2/k
Si k>0 alors -1+2/k >-1
Si k<0 alors -1+2/k <-1
fk'(x)=[-kx²+(2-2k)x+2-k]e^(-kx)
e^(-kx)>0
-kx²+(2-2k)x+2-k:
D=discriminant =4
donc deux racines réelles -1 et (2-k)/k, k non nul.
A partir de tout ça j'ai pu établir les deux tableaux de variation de fk selon k>0 ou k<0 et j'ai vérifié à la calculette les graphiques.
C'est tout à fait ça !
Cordialement.
il y a une petite boulette.
f0(x)=2(x+1)Envoyé par kaderben
je suppose que c'est une faute de frappe!
Cdt
Heu ... fk(x)=(x+1)²*e^(-kx), donc f0(x)=(x+1)²*e^(0)
Cordialement.
au temps pour moi, les posts étant sur la dérivée, j'étais resté la dessus.
'ai une dernière question si vous le permettez.
f(x)=(x+1)²*e^(-2x) sur [-3/2; +oo]
a) Montrer que f(x)=1 admet une solution unique -1,28< a <-1,27
b) Déterminer les valeurs de m réel pour lesquelles l'équation I (x+1)/e^x I = I (m+1)/e^m I ( I I valeur absolue)
admet une solution unique.
a) Variation de f:
f(-3/2)=5,021..
sur [-3/2; -1] f décroissante et f(-1)=0
sur [-1; 0] f croissante et f(0)=1
sur [0; +oo] f décroissante et lim f =0 en +oo
donc avec le th VI : une solution unique -1,28< a <-1,27
sur [0; +oo] f(x) >= 0
b) I (x+1)/e^x I = I (m+1)/e^m I équivaut à: I V(f(x) I = I (m+1)/e^m I ( V() racine carrée )
On sait que I A(x) I= I B(x) I équivaut à A(x) = B(x) ou A(x) = - B(x)
mais je ne vois pas ou' cela m'en mène !
pas clair: ni l'énoncé, ni tes résolutions.
pour la a)
la fonction admet de fait deux valeurs possibles x0 , f(x0)=1 sur l'intervalle [-3/2;+oo[,
l'une dans l'intervalle proposé , l'autre en x0=0.
et par ailleurs tu ne montres pas que la première se situe bien dans cet intervalle.
pour la b)
je ne comprend déjà pas le début
si f(x) est la fonction initiale
alors |(1+x)e(x)| n'est pas |rac(f(x)|.
faute de frappe , autre chose ?
ps : il s'agit peut être de |(x+1)e(-x)| , et pas |(x+1)e(x)| ( car la fonction f(x) a été étudiée )
si c'est ce cas ( ? ), il faut se souvenir que
|A|=|B| <=> A²=B² (*)
et on revient à
f(x)=(m+1)²e^(2m)
(*) l'équation restant valable , même si ce n'est pas le cas.
Bonjour.
Comment as-tu prouvé que f(x) prenait la valeur 1 entre -1,28 et -1,27 ("avec le tvi" ne justifie pas -1,28 ni -1,27) ?
Autre chose :
I (x+1)/e^x I = I (m+1)/e^m I
avec la touche Alt Gr 6 du clavier d'un ordinateur :
|(x+1)/e^x| = |(m+1)/e^m|
C'est tout de suite plus lisible !
Cordialement.
tu as mal lu ! C'est |(1+x)/e(x)||(1+x)e(x)| n'est pas |rac(f(x)|.
lExact! deux et non une solution unique (je n'ai pas fait attention en recopiant.a fonction admet de fait deux valeurs possibles x0 , f(x0)=1 sur l'intervalle [-3/2;+oo[,
l'une dans l'intervalle proposé , l'autre en x0=0.
Avec les variations de f:Comment as-tu prouvé que f(x) prenait la valeur 1 entre -1,28 et -1,27 ("avec le tvi" ne justifie pas -1,28 ni -1,27) ?
a) Variation de f:
f(-3/2)=5,021..
sur [-3/2; -1] f décroissante et f(-1)=0
sur [-1; 0] f croissante et f(0)=1
sur [0; +oo] f décroissante et lim f =0 en +oo
donc avec le th VI : une solution unique -1,28< a <-1,27
0<1<5,021
Oui, je n'ai pas bien compris ta question:
Comment as-tu prouvé que f(x) prenait la valeur 1 entre -1,28 et -1,27 ("avec le tvi" ne justifie pas -1,28 ni -1,27) ?
Et bien avec la calculette !
tu as raison.
donc c'est bien |(1+x)e(-x)|=|(1+m)e(-m)|
on en revient à ma suggestion, cela est équivalent ( en mettant les termes au carré ) à
f(x)=f(m)
tu as fait l'étude des variations de ta fonction, avec ses extrema .....
je te laisse résoudre cela.
Kaderben,
Tu n'as toujours pas répondu à ma question :Tu as dans ton message #14 recopié avec un petit ajout inutile ce que tu avais écrit, qui ne parle jamais de -1,28 et -1,27. Donc tu n'as pas démontré ce qu'on te demandait, tu t'es contenté d'écrire "avec le th VI" comme si c'était une formule magique. Voila ta démonstration :Comment as-tu prouvé que f(x) prenait la valeur 1 entre -1,28 et -1,27Relis le théorème des valeurs intermédiaires, ses hypothèses et leur lien avec la conclusion.Avec les variations de f:
a) Variation de f:
f(-3/2)=5,021..
sur [-3/2; -1] f décroissante et f(-1)=0
sur [-1; 0] f croissante et f(0)=1
sur [0; +oo] f décroissante et lim f =0 en +oo
donc abracadabra une solution unique -1,28< a <-1,27
Cordialement.
Je connais bien le théorème des valeurs intermédiaires et c'est pour cette raison que je n'ai pas détaillé la démarche (je l'aurais fait dans un contrôle bien entendu ! Mais j'ai dépassé l'âge des contrôles ! Je suis tranquille !).Tu n'as toujours pas répondu à ma question :
Comment as-tu prouvé que f(x) prenait la valeur 1 entre -1,28 et -1,27
f(x)=1
f(-3/2)=5,021..
sur [-3/2; -1] f strictement décroissante et f(-1)=0
Or 1 dans [0;5,021]
D'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation f(x)=1 admet une solution unique a sur [-3/2; -1]
Maintenant avec la table de la calculette ( si elle es graphique ) on détermine l'encadrement de la solution à la précision qu'on veut.
Je pense avoir répondu à la question.
.donc c'est bien |(1+x)e(-x)|=|(1+m)e(-m)|
on en revient à ma suggestion, cela est équivalent ( en mettant les termes au carré ) à
f(x)=f(m)
tu as fait l'étude des variations de ta fonction, avec ses extrema .....
je te laisse résoudre cela
Je verrai après
Pour le valeurs de m:
D'après ce que j'ai compris m joue le rôle de x
D'après les variations de f:
pour -3/2 <= m <a f admet une unique solution.
Que tu es compliqué !!! Pas besoin de table de la calculette, la réponse est dans l'énoncé.
On calcule f(-1,28), f(-1,27), on constate qu'ils sont de signes contraires et que f est monotone sur l'intervalle, ce qui permet d'appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
En fait, tes réponses montrent bien que tu t'es contenté ici de baratiner. Tu n'avais pas fait la question sérieusement.
c'est juste mal dit.
il est évident que x=m est solution de l'équation.
solution unique => pas d'autre x diff de m et solution de l'équation.
mais d'accord avec la conclusion.
ps : même si j'ignore pourquoi au départ la fct n'est définie que sur [-3/2 ; +oo [
Pour cette question oui, mais pas essayer de baratiner des profs de math !En fait, tes réponses montrent bien que tu t'es contenté ici de baratiner. Tu n'avais pas fait la question sérieusement.
Oui, je n'ai eu le réflexe !On calcule f(-1,28), f(-1,27), on constate qu'ils sont de signes contraires
Au fait c'est dans IR mais le tracé de la courbe sur [-3/2; +oo ]ps : même si j'ignore pourquoi au départ la fct n'est définie que sur [-3/2 ; +oo [
C'est le bac algérien 2019 rédigé en arabe, le problème c'est que je suis très faible dans cette langue et j'essaye de deviner les questions!
Merci pour tout !
ggO, je me permets de te reprendre sur:
Probablement tu as pensé à f(x)=0 alors que c'est f(x)=1.On calcule f(-1,28), f(-1,27), on constate qu'ils sont de signes contraires
En arabe ? j'en serais incapable...
Ceci dit, si la fct est bien définie sur IR alors la bonne réponse est ]-oo ; a[ , indépendamment de la courbe ( demandée ou pas ).
Si on veut une réponse "propre".
Effectivement. Je rectifie : "On calcule f(-1,28)-1 et f(-1,27)-1, on constate qu'ils sont de signes contraires"
Cordialement.
la dérivée est f'k(x) = e(-kx)*(x+1)*(2-k(x+1)
f'k(x)>0 si x>-1 et x<2/k - 1
le tableau de variations:
x |-oo -1 2/k-1 +oo |
_____ |_____________________________ _________ ____ |
f'k(x) | + 0 - 0 + |
Rappel : https://forums.futura-sciences.com/m...ces-forum.html
Pour la prochaine fois...nous suggérons à ceux qui savent résoudre les exercices de ne pas en poster des corrections complètes, mais de privilègier des indications, rappels de méthode, etc. Ceci permet évidemment de tirer profit au maximum des possibilités du forum : l'accompagnement est en général bien plus profitable à l'auteur du fil qu'un corrigé tout fait.
C'est bien entendu déjà la politique pratiquée sur ce forum, ce message s'adressant en particulier aux nouveaux.
Not only is it not right, it's not even wrong!
