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Continuité et dérivabilité de l´intégrale d´une fonction avec parametre




  1. #1
    christophe_de_Berlin

    Continuité et dérivabilité de l´intégrale d´une fonction avec parametre

    Bonjour, j´ai un problème de démonstration dans un exo. Il s´agit d´une fonction définie comme l´intégrale d´une autre fonction, qui elle dépend d´un paramètre. ou plutôt de 3 paramètres. Mon explication va être assez longue.... mais j´essaie:

    f(t,x) = [exp((-t^i) * x)] / (1+ t^j)

    et F(x) = intégrale de 0 à l´infini de f(t,x) dt

    On précise que i et j, de même que x sont des réels strictement positifs.

    Il s´agit de deux questions: discuter selon les valeurs de i et j d´une part la continuité de F d´autre pas sa dérivabilité sur IR+*.

    Mais je dois préciser que c´est un exo dans le cadre d´un cours sur les intégrales de lebesque, plus précisément on doit y a étudié les théorèmes sur la continuité et la dérivabilité d´une intégrale dépendant d´un paramètre, ces thérorèmes dérivant directement du Théorème de la Convergence Dominée. Donc il s´agit d´appliquer ces théorèmes. C´est ce que j´ai fait, et je suis arrivé aux conclusions suivantes:

    Si j > 1, alors F est continue, si de plus j > 1 + i, alors, F est dérivable.

    Le truc qui me chiffonne, c´est que ces deux théorèmes sont des conditions suffisantes, mais pas nécessaires de la continuité / dérivabilité.

    Donc pour répondre aux questions de l´exo, il faudrait que je trouve en plus des conditions nécessaires. C´est là que je bloque....

    Si vous avez des idées.... Merci d´avance

    Christophe

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    edpiste

    Re : Continuité et dérivabilité de l´intégrale d´une fonction avec parametre

    Ton résultat ne me semble pas optimal.
    Pour tous i,j>0 la fonction est continue sur R plus étoile.
    Si i>0 et j>1, alors la fonction est continue aussi au point x=0.
    En revanche si j est inférieur ou égal à 1, la fonction n'est pas continue en x=0.
    En effet, par le théorème de convergence monotone, lorsque n tend vers l'infini, F(1/n) converge vers F(0)...qui vaut plus l'infini!

  4. #3
    christophe_de_Berlin

    Re : Continuité et dérivabilité de l´intégrale d´une fonction avec parametre

    comment arrives-tu au résultat que F est continue sur ]0, +[? J´ai beau chercher....


  5. #4
    God's Breath

    Re : Continuité et dérivabilité de l´intégrale d´une fonction avec parametre

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin Voir le message
    comment arrives-tu au résultat que F est continue sur ]0, +[? J´ai beau chercher....
    Il faut utiliser une domination sur des sous intervalles de .
    Soit , pour tout de , on a :

    est continue, indépendante de , et intégrable sur .
    Donc est continue sur .
    Comme le résultat vaut pour tout , il vaut sur.

    La dérivabilité s'étudie de même.
    Dernière modification par God's Breath ; 01/03/2008 à 13h52.

  6. #5
    christophe_de_Berlin

    Re : Continuité et dérivabilité de l´intégrale d´une fonction avec parametre

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Il faut utiliser une domination sur des sous intervalles de .
    Soit , pour tout de , on a :

    est continue, indépendante de , et intégrable sur .
    Donc est continue sur .
    Comme le résultat vaut pour tout , il vaut sur.

    La dérivabilité s'étudie de même.
    super merci, encore un truc auquel j´avais pas pensé.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    God's Breath

    Re : Continuité et dérivabilité de l´intégrale d´une fonction avec parametre

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin Voir le message
    super merci, encore un truc auquel j´avais pas pensé.
    C'est bien l'intérêt de poser la question sur un forum...

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