valeurs d'adhérence d'une suite

[invite55237ba5]

Voilà mon prof m'a donné ce DM et je ne comprends pas grand chose, tout du moins pour l'instant je bloque sur toutes les questions. Alors si quelqu'un avait les réponses et aussi les explictions ça m'aiderait bien. Voilà l'énoncé en entier :

Soit (Mn) une suite de points de R². On note Mn=[xn,yn]. On dit qu'un point P est une valeur d'adhérence de la suite (Mn)si
Quelque soit E>0, quelque soit N, il existe n tel que n>N et d(Mn,P)<E

(La définition est dans le DM parce que on a pas fait le cours !)

1.1 Montrer que si une suite (Mn) converge vers L (appartenan à R²), alors L est une valeur d'adhérence de la suite et c'est la seule
(Pour cette question je pensais faire partir de la définition de la suite et arrivée à la valeur d'adhérence mais j'arrive pas à recaser le d(Mn,P))

1.2 Trouver les aleurs d'adhérence des suites (Mn) définies par :
Mn=[cos((n*Pi)/4), sin((n*Pi)/4]
Mn=1/n [cos((n*Pi)/4, sin((n*Pi)/4]
Mn=n [cos((n*Pi)/4, sin((n*Pi)/4]
(Pour cette question je sais meme pas comment m'y prendre parcque je sais pas quoi prendre pour le E de la définition ni comment touver le point P => bref je comprends rien !)

1.3 Montrer que P est un valeur d'adhérence de la suite (Mn) si et seulement il existe une sous suite (Mkn) telle que : lim Mkn = P quand n-> infini
(Bon ben là j'pense qu'y faut prouver les deux implications pour avoir l'équivalence mais pour l'une comme pour l'autre je vois pas trop comment faire)

1.4 Montrer que P n'est pas une valeur d'adhérence de (Mn) si il existe r>0 tel que :
{n appartien à N (=ensemble des entiers naturels) tel que Mn appartient à B(P,r)} est fini
Ici B(P,r) est la boule de centre P et de rayon r.
Montrer alors que pour tout Q de B(P,r), Q n'est pas non plus une valeur d'adhérence de (Mn). En déduire que l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite (Mn) est une partie ferméede R².


Voilà ! J'espère que certains auront des idées parce que moi je sèche et en plus je n'ai pas de cours là dessus donc c'est un peu galère pour moi qui suis pas très douée en math.
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[invitea07f6506]

Moralement, un point d'adhérence d'une suite est un point à proximité duquel la suite va toujours repasser à un moment ou un autre, même si entre deux passages elle peut s'en éloigner - cette notion s'applique de façon similaire à des applications. Par exemple, si tu va tous les jours de chez toi au lycée, en prenant toujours un chemin différent mais en passant toujours dans la même station de métro, alors ton domicile, le lycée et la station de métro sont des valeurs d'adhérence du chemin que tu parcours au cours des jours (our our).
C'est beau, les maths.

Pour une suite donnée, il peut n'y avoir aucune valeur d'adhérence, une seule valeur d'adhérence (pas forcément limite de la suite), une nombre fini ou infini de valeurs d'adhérence. Je te renvoie à la deuxième question pour ça.


1.1
Moralement, au lieu de faire l'aller-retour de chez toi au lycée, tu restes au lycée (ou près du lycée) à partir d'un certain moment. Le lycée est "valeur d'adhérence" ; en revanche, comme tu ne t'approches plus assez de chez toi, ni de la station de métro, eux ne sont plus valeurs d'adhérence.

S L est limite de ta suite : Quelque soit E>0, il existe N, pour tout n tel que n>N on a d(Mn,P)<E
En particulier, tu as des n arbitrairement grands tels que d(Mn,P)<E, donc pour tout N tu as n>N tel que d(Mn,P)<E.

Soit un autre point P du plan : en choisissant E assez petit (d(L,P)/3 par exemple), à partir du fait que L est limite de ta suite, tu montres qu'à partir d'un certain rang aucun terme de ta suite n'approche P à moins de (d(L,P)-E), ce qui est incompatible avec la propriété d'être une valeur d'adhérence de la suite.


1.2
Dessine les (10 ?) premiers termes de chaque suite, et rappelle-toi ma petite introduction.
1) Tu repasses périodiquement par les mêmes 8 points... Si d(Mn,P)=0, alors quelque soit E>0, d(Mn,P)<E. Tu peux donc montrer quelque chose de plus fort : quelque soit N, il existe n tel que n>N et d(Mn,P)=0, ce qui entraîne que P est valeur d'adhérence. Concernant les autres points du plan : ceux-ci resteront toujours à une certaine distance de ta suite (le minimum de la distance entre ce point et chacun des 8 autres points). Donc tu peux trouver E tel qu'aucun terme de la suite ne soit dans B(P,E).
2) Utilises le 1.1.
3) Sachant que d(O,Mn) est strictement croissant non borné, peux-tu repasser à proximité d'un point à côté duquel tu es déjà passé ?


Voilà, essaie déjà de faire avec ça ; si tu te familiarises un peu avec ce concept, tu n'auras peut-être même pas besoin d'aide pour les deux dernières questions !