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Inéquation du 3ème degré



  1. #1
    Jon83

    Inéquation du 3ème degré


    ------

    Bonjour à tous!
    Y aurait-il une méthode algébrique astucieuse pour résoudre 0.0005*x^3-0.06*x^2+63>0 ?

    -----

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  3. #2
    ansset

    Re : Inéquation du 3ème degré

    bjr,
    pas directement.
    néanmoins tu peux faire un tableau de variation et voir très vite que la dérivée s'annule en x0=0 et x1=80
    elle est croissante jusqu'en x0 ( ou la fct est positive ) décroissante de x0 à x1 ( ou la fonction est négative ) puis de nouveau croissante.

    parallèlement tu peux la tracer ( géogébra ou wolfram ) et voir qu'elle s'annule en des points proches de -30,40 et 110.
    pour avoir des valeurs exactes ou elle s'annule tu peux utiliser le très connu algo itératif de newton qui te donnera ces points avec une grande précision.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  4. #3
    gg0

    Re : Inéquation du 3ème degré

    Bonjour.

    A priori, tu peux trouver la seule valeur a qui annule le polynôme du premier membre par la méthode de Cardan, puis utiliser les variations de ce polynôme. Mais a a une expression compliquée.
    Et tout ça n'a rien d'astucieux (en dehors de l'idée astucieuse de Cardan).

    Cordialement.

    NB : Dans des exercices scolaires, une valeur approchée de a est souvent suffisante.

  5. #4
    ansset

    Re : Inéquation du 3ème degré

    c'est ici :
    https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_cubique
    je ne l'ai pas mentionné car le post était mis en rubrique "collège et lycée".

    ps: pour ramener l'équation proposé en "équation de cardan" il faut déjà faire un changement de variable.
    bref, tout ça est assez lourd.
    Dernière modification par ansset ; 18/10/2019 à 15h35.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  6. #5
    ansset

    Re : Inéquation du 3ème degré

    ps : l'itération "à la newton" que je pense accessible au niveau lycée donne très rapidement les valeurs approchées où f(x)=0
    -29,0727517
    39,3833183
    109,489433
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    gg0

    Re : Inéquation du 3ème degré

    Il y a un problème dans mon premier message, il y a bien trois valeurs de x qui donnent 0, mais mon esclave calculateur (Maple) n'en donne qu'une en calcul exact, plus deux complexes. Je vais essayer de comprendre ce qui se passe !

    J'avais proposé la méthode de Cardan simplement parce qu'elle est algébrique.

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  10. #7
    gg0

    Re : Inéquation du 3ème degré

    Ah, j'ai trouvé, c'est une lecture trop rapide de la réponse de Maple. Donc ici, la méthode de Cardan ne donne rien directement.
    Donc tout à fait d'accord, au niveau lycée, rien d'utile.

    Cordialement.

  11. #8
    Jon83

    Re : Inéquation du 3ème degré

    Merci à tous pour votre aide!

  12. #9
    ansset

    Re : Inéquation du 3ème degré

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    J'avais proposé la méthode de Cardan simplement parce qu'elle est algébrique.
    je l'avais bien compris ainsi, mais ( celle que je connais ) permet de résoudre les équations du type
    ax3+bx+c=0
    Or, ici on a un terme en x².
    Il faut donc en plus faire un chgt de variable pour retomber dessus.
    ça devient bien lourd.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  13. #10
    gg0

    Re : Inéquation du 3ème degré

    Pour moi, le changement de variable éventuel fait partie de la méthode. Et que ce soit lourd ou pas, la demande était une méthode algébrique. N'importe comment, quand, comme ici, il y a trois racines réelles, le cas général est qu'il n'y a pas de méthode algébrique dans les réels permettant de terminer : les racines sont des réels qui s'écrivent avec des racines cubiques de complexes inexprimables généralement avec des calculs algébriques sur des réels (les 4 opérations, puissances et racines n-ièmes).

    Cordialement.

  14. #11
    ansset

    Re : Inéquation du 3ème degré

    c'est juste.
    piqure de rappel utile. merci.
    Cdt
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  15. #12
    Black Jack 2

    Re : Inéquation du 3ème degré

    Bonjour,

    0.0005*x^3-0.06*x^2+63>0 ?
    x³ - 120x² + 126000 > 0

    Recherches des solutions de : x³ - 120x² + 126000 = 0

    Poser x = y + 40

    y³+ 120y² + 4800y + 64000 - 120(y²+80y+1600) + 126000 = 0

    y³ - 4800y - 2000 = 0 (de la forme y³ - py + q = 0)

    (q/2)² + (p/3)³ = 10^6 - 1600³ < 0 et donc il y a 3 racines réelles ... qu'on peut trouver par une méthode trigonométrique.

    R1 = [(-4p/3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-q.((-27/(4p³))^(1/2)))].
    R2 = [(-4p/3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-q.((-27/(4p³))^(1/2))) + (2.Pi/3)].
    R3 = [(-4p/3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-q.((-27/(4p³))^(1/2))) + (4.Pi/3)].

    R1 = 80.cos(arccos(2000*(27/442368000000)^(1/2))/3) = 80.cos((1/3).arccos(1/64))
    R2 = 80.cos((1/3).arccos(1/64 + 2Pi/3))
    R3 = 80.cos((1/3).arccos(1/64 + 4Pi/3))

    Et donc les racines de 0.0005*x^3-0.06*x^2+63 = 0 sont

    x1 = 40 + 80.cos((1/3).arccos(1/64))
    x2 = 40 + 80.cos(2Pi/3 + (1/3).arccos(1/64))
    x3 = 40 + 80.cos(4Pi/3 + (1/3).arccos(1/64))

    Ce sont les valeurs exactes ... mais elles contiennent des relations trigonométriques.

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