Inéquation du 3ème degré

[Jon83]

Bonjour à tous!
Y aurait-il une méthode algébrique astucieuse pour résoudre 0.0005*x^3-0.06*x^2+63>0 ?
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[ansset]

bjr,
pas directement.
néanmoins tu peux faire un tableau de variation et voir très vite que la dérivée s'annule en x0=0 et x1=80
elle est croissante jusqu'en x0 ( ou la fct est positive ) décroissante de x0 à x1 ( ou la fonction est négative ) puis de nouveau croissante.

parallèlement tu peux la tracer ( géogébra ou wolfram ) et voir qu'elle s'annule en des points proches de -30,40 et 110.
pour avoir des valeurs exactes ou elle s'annule tu peux utiliser le très connu algo itératif de newton qui te donnera ces points avec une grande précision.

[gg0]

Bonjour.

A priori, tu peux trouver la seule valeur a qui annule le polynôme du premier membre par la méthode de Cardan, puis utiliser les variations de ce polynôme. Mais a a une expression compliquée.
Et tout ça n'a rien d'astucieux (en dehors de l'idée astucieuse de Cardan).

Cordialement.

NB : Dans des exercices scolaires, une valeur approchée de a est souvent suffisante.

[ansset]

c'est ici :
https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_cubique
je ne l'ai pas mentionné car le post était mis en rubrique "collège et lycée".

ps: pour ramener l'équation proposé en "équation de cardan" il faut déjà faire un changement de variable.
bref, tout ça est assez lourd.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

ps : l'itération "à la newton" que je pense accessible au niveau lycée donne très rapidement les valeurs approchées où f(x)=0
-29,0727517
39,3833183
109,489433

[gg0]

Il y a un problème dans mon premier message, il y a bien trois valeurs de x qui donnent 0, mais mon esclave calculateur (Maple) n'en donne qu'une en calcul exact, plus deux complexes. Je vais essayer de comprendre ce qui se passe !

J'avais proposé la méthode de Cardan simplement parce qu'elle est algébrique.

[gg0]

Ah, j'ai trouvé, c'est une lecture trop rapide de la réponse de Maple. Donc ici, la méthode de Cardan ne donne rien directement.
Donc tout à fait d'accord, au niveau lycée, rien d'utile.

Cordialement.

[Jon83]

Merci à tous pour votre aide!

[ansset]

J'avais proposé la méthode de Cardan simplement parce qu'elle est algébrique.

je l'avais bien compris ainsi, mais ( celle que je connais ) permet de résoudre les équations du type
ax³+bx+c=0
Or, ici on a un terme en x².
Il faut donc en plus faire un chgt de variable pour retomber dessus.
ça devient bien lourd.

[gg0]

Pour moi, le changement de variable éventuel fait partie de la méthode. Et que ce soit lourd ou pas, la demande était une méthode algébrique. N'importe comment, quand, comme ici, il y a trois racines réelles, le cas général est qu'il n'y a pas de méthode algébrique dans les réels permettant de terminer : les racines sont des réels qui s'écrivent avec des racines cubiques de complexes inexprimables généralement avec des calculs algébriques sur des réels (les 4 opérations, puissances et racines n-ièmes).

Cordialement.

[ansset]

c'est juste.
piqure de rappel utile. merci.
Cdt

[Black Jack 2]

Bonjour,

0.0005*x^3-0.06*x^2+63>0 ?
x³ - 120x² + 126000 > 0

Recherches des solutions de : x³ - 120x² + 126000 = 0

Poser x = y + 40

y³+ 120y² + 4800y + 64000 - 120(y²+80y+1600) + 126000 = 0

y³ - 4800y - 2000 = 0 (de la forme y³ - py + q = 0)

(q/2)² + (p/3)³ = 10^6 - 1600³ < 0 et donc il y a 3 racines réelles ... qu'on peut trouver par une méthode trigonométrique.

R1 = [(-4p/3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-q.((-27/(4p³))^(1/2)))].
R2 = [(-4p/3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-q.((-27/(4p³))^(1/2))) + (2.Pi/3)].
R3 = [(-4p/3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-q.((-27/(4p³))^(1/2))) + (4.Pi/3)].

R1 = 80.cos(arccos(2000*(27/442368000000)^(1/2))/3) = 80.cos((1/3).arccos(1/64))
R2 = 80.cos((1/3).arccos(1/64 + 2Pi/3))
R3 = 80.cos((1/3).arccos(1/64 + 4Pi/3))

Et donc les racines de 0.0005*x^3-0.06*x^2+63 = 0 sont

x1 = 40 + 80.cos((1/3).arccos(1/64))
x2 = 40 + 80.cos(2Pi/3 + (1/3).arccos(1/64))
x3 = 40 + 80.cos(4Pi/3 + (1/3).arccos(1/64))

Ce sont les valeurs exactes ... mais elles contiennent des relations trigonométriques.