Inéquation du second degré....

[invite5ba2a8e9]

Bonjour,

J'ai un DM de maths à faire pour la rentrée, et le premier exo consiste à résoudre dans R 1 équation et 2 inéquations:
1°) Radical_de_(x²-2x-3) = 3x-1
2°) Radical_de_(x²+5x-6) >= -2x+4
3°) Radical_de_(x²-5x+6) <= 4x-5

Le probléme:
J'arrive à résoudre les inéquations du seconde degrès mais les radicaux me posent problème. En effet, comme se sont des inéquation nous ne pouvont pas les mettre au carré (pour enlever les radicaux) car nous ne connaissons pas le signe de x.
Est ce que vous pourriez m'aider.
Merci d'avance.



J'ai répondu pour la première equation:
Radical_de_(x²-2x-3) = 3x -1

Domaine de définition:
L'équation est definie si x²-2x-3 >= 0 d'où:
delta = b²-4ac = 16 soit x1 =-1 et x2=3
Comme x² est posotif alors le trinome est toujours positif sauf entre ces racines d'où Df= ]-infini;-1] U [3;+infini[

Résolution:
Radical_de_(x²-2x-3) = 3x -1
x²-2x-3 = (3x-1)²
x²-2x-3-9x²+6x-1
-8x²+4x-4=0
Delta est négatif donc pas de racine donc pas de solution donc S=encemble vide

C'est juste?
Sinon ben aidez moi pour les autres SVP
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[danyvio]

Bonjour,

[COLOR="Red"]J'ai un DM de maths à faire pour la rentrée, et le premier exo consiste à résoudre dans R 1 équation et 2 inéquations:
1°) Radical_de_(x²-2x-3) = 3x-1
2°) Radical_de_(x²+5x-6) >= -2x+4
3°) Radical_de_(x²-5x+6) <= 4x-5

Le probléme:
J'arrive à résoudre les inéquations du seconde degrès mais les radicaux me posent problème. En effet, comme se sont des inéquation nous ne pouvont pas les mettre au carré (pour enlever les radicaux) car nous ne connaissons pas le signe de x.

Tu peux élever les inégalités au carré ! Mais tu dois distinguer les cas où le deuxième membre est négatif because la valeur de x (auquel cas tu dois inverser le sens de l'inégalité) des cas où il est positif. Le membre de gauche, lui, est par définition positif (définition de la racine carrée d'un nombre positif)
Voili voilou! Merci qui ?

[invite5ba2a8e9]

Ok, ben je vais essayer sa pour demain, mais sa me parait bien difficile...
Sa veut dire au fait que je vais résoudre deux inéquation du second dergrè ?

[danyvio]

Je reviens sur mon post que j'ai .. posté un peu vite.
L'élévation au carré est possible sans changer le sens des inégalités si les deux membres sont positifs.
Pour les autres cas, cela dépend de la valeur absolue de ce qui est élevé au carré. Je m'explique :
-5 < 2 mais 25 > 4
-5 < -1 mais 25 > 1
5> -10 mais 25 < 100
5 > -2 et 25 > 4

Tu as dans ton exo un système à "double détente" en ce sens que ce qui est sous radical doit être positif. Ensuite vois la valeur absolue des deuxièmes membres s'ils sont négatifs.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Tu te faciliterais la vie si tu faisais un petit tableau où apparaîtraient les valeurs de x qui annulent le polynôme en-dessous du radical et aussi le second membre. Tu y verrais plus clair, en éliminant déjà les segments où le radical n'est pas défini.
Ensuite sur le même tableau tu ferais apparaître le signe du second membre. Quand il est négatif, il est évident que le radical est plus grand (pour autant qu'il soit défini, of course !).
Quand le second membre est positif, tu peux élever au carré comme tu as fait.

[danyvio]

Tu te faciliterais la vie si tu faisais un petit tableau où apparaîtraient les valeurs de x qui annulent le polynôme en-dessous du radical et aussi le second membre. Tu y verrais plus clair, en éliminant déjà les segments où le radical n'est pas défini.
Ensuite sur le même tableau tu ferais apparaître le signe du second membre. Quand il est négatif, il est évident que le radical est plus grand (pour autant qu'il soit défini, of course !).
Quand le second membre est positif, tu peux élever au carré comme tu as fait.

"Quand il est négatif, il est évident que le radical est plus grand (pour autant qu'il soit défini, of course !)."

Certes, mais l'élévation au carré peut changer le sens de l'inégalité :

> -5 MAIS 2<25

[Jeanpaul]

"Quand il est négatif, il est évident que le radical est plus grand (pour autant qu'il soit défini, of course !)."

Certes, mais l'élévation au carré peut changer le sens de l'inégalité :

> -5 MAIS 2<25

Mais quand le second membre est négatif, on se garde bien d'élever au carré, on conclut directement !

[invite5ba2a8e9]

Bonjour,
Bon j'ai essayé de faire la deuxieme mais je n' y arrive pas apres le domaine de définition. Voilà ce que j'ai fais:

Radical_de_x²-2x-3 = 3x+1
Domaine de définiton:
L'équation est définie si x²-2x-3 >= 0 d'où:
DELTA= b²-4ac = (-2)² -4*1*-3 = 16
Comme DELTA est supérieur à 0 alors, le trinome x²-2x-3 admet deux racines rélles disctinctes qui sont:
x1=-1 et x2=3
De plus, comme le coefficient de x² est positif, alors le trinome x²-2x-3 est toujours positif sauf entre ces racines d'où Df= ]-infini;-1]U[3;+infini[

Voilà et après je bloque.

[Jeanpaul]

Tu te fais un petit tableau bien propre.
1ère ligne : x varie de - infini à + infini en passant par les valeurs intéressantes qui sont : -1 , -1/3 et +3
2ème ligne : on donne le signe de x² - 2 x - 3. C'est + puis - puis +
3ème ligne : tu donnes le signe de la racine du trinôme ci-dessus, c'est forcément + sauf entre -1 et +3 où ce n'est pas défini
4ème ligne : tu donnes le signe de 3 x + 1 : c'est - puis +

Et là, tu regardes. Le radical et l'expression 3 x +1 ne peuvent être égaux que quand ils sont définis tous les deux et de même signe (évident, non ?)
Ca ne se fait qu'au dessus de +3. Alors on peut élever au carré car le radical et l'expression 3 x + 1 sont positifs.
Et là tu conclus comme tu as déjà fait.
L'intérêt est que ça marche très bien pour les inégalités, tu commences par trouver quand il y a égalité, ça fait des valeurs remarquables dans le tableau et tu conclus.
Il faut toujours essayer de créer des représentations concrètes, on voit ce qu'on fait au lieu de raisonner dans le vague.

[invite5ba2a8e9]

ok. Ben je vais essayer de faire sa, et je vous tiens au courant...
Merci

[danyvio]

Mais quand le second membre est négatif, on se garde bien d'élever au carré, on conclut directement !

Tout à fait OK

[invite5ba2a8e9]

Escusez moi mais je n'y arrive pas. C'est peut-être moi qui suis bête...
Est ce que sa serait possbile de me faire un exemple avec une de mes inégalité ou une autre par hasard ?
Merci

[Jeanpaul]

Alors on va y aller pas à pas, par exemple le 2ème exo.
Déjà repérer des valeurs remarquables : celles qui annulent le radical et celle qui annule le second membre.
Le radical s'annule en -6 et en 1, le second membre s'annule en 2
On fait donc le tableau avec :
1ère ligne : valeur de x : -infini, -6, 1, 2 + infini
2ème ligne ²+5x-6 : + 0 - 0 + +
3ème la racine : + 0xxxxx0 + +
4ème : -2x +4 : + + + 0 -

On voit déjà que pour x>=2, c'est satisfait, puisque la racine est positive et -2x + 4 est négatif.
On va donc se limiter à ]-infini,-6] et [1,2]
Là, les 2 membres sont positifs, on peut élever au carré et chercher à résoudre :
x²+5x-6 >=(-2x+4)², ce qui donne après trituration et sauf erreur :
3 x² - 21 x + 22 <=0
Déjà voir où ça s'annule, on trouve 1.28 et 5.72. Entre les deux, c'est négatif, ce qu'on veut.
Il faut donc à la fois que x soit compris entre 1.28 et 5.72 et que x soit ou bien inférieur à -6 ou bien entre 1 et 2, sinon le calcul n'a pas de sens.
Petit dessin et hop : x doit être compris entre 1.28 et 2.
Sans oublier le cas premier où x était supérieur à 2.
Avec un beau tableau très propre, on comprend tout de suite quand on y place les valeurs remarquables.

[invite5ba2a8e9]

Là, les 2 membres sont positifs, on peut élever au carré et chercher à résoudre :
x²+5x-6 >=(-2x+4)², ce qui donne après trituration et sauf erreur :
3 x² - 21 x + 22 <=0

Quand tu dit 3 x² - 21 x + 22 <=0 sa ne serait pas plutôt 3 x² - 21 x + 22 >=0 ? Sinon Merci bien, je crois que j'ai compris. Je refais sa, et j'ai fait la 3, et je la posterai pour vous demander si c'est bon.
Merci encore.

[Jeanpaul]

Exact, autant pour moi, ça change les conclusions évidemment.

[invite5ba2a8e9]

Donc voilà, j'ai fait les deux inéquations, dites moi si j'ai juste.
Merci d'avance.

maths 2.1.zip

maths 2.10003.zip

maths 3.1.zip

maths 3.10004.zip

Oups, je sais pas si sa marche ?

[invite5ba2a8e9]

Si sa ne marche pas, rendez vous Ici ou ici . Ne faite pas attention à la bannière, c'est un ancien site que j'avais fait en vitesse.

[invite5ba2a8e9]

Bon, je viens de m'apercevoir, que j'ai fait de grosses erreurs que normalement, je viens de corriger. Donc normalement, sa doit être tout bon...
Les feuilles ici