Problème équation 2nd

[Dachy]

J'ai résolu le problème mais je sais pas si mon explication est mathématiquement correcte...
(D'ailleurs je ne peux pas simplement poser l'équation, il y a 4 inconnues)

Paul parle d'un nombre dont le carré est ce nombre + 1.
Marie parle d'un nombre dont l’inverse est ce nombre - 1.
Paul et Marie parle-t-il du même nombre ?

x et y, n’importe quel réel, mais y n’est pas égale à 0, car il n’a pas d’inverse.

x^2 = x + 1
1/x = y -1

Pour trouver x on fait :

x^2/x = (x + 1)/x
x = (x + 1)/x

Pour trouver y on fait :

1/yy^2 = (y - 1)x y^2
y = (y^3 – y^2)

Pour vérifier si x = y on fait :

x = (x + 1)/x
xx^3 = x^3((x + 1)/x)
x^4 = x^3 + x^2
x^4*(-1) = x^3 + x^2*(-1)
-(x^4) = x^3 - x^2

Si x est égale à y alors x serai égale à -(x^4) ce qui est impossible, donc x =/= y
-----

[Dynamix]

Salut

D' ou sort ce y ?
Dans l' énoncé il n' y a qu' un seul nombre :

Marie parle d'un nombre (x) dont l’inverse (1/x) est ce nombre - 1.

L' équation ne doit comporter que les termes que j' ais mis en gras .

[Dachy]

Vu que l'on n'est pas sûr que les nombres soit identique, j'ai pris deux nombres différents(x et y), c'est une erreur (sachant que x peut être égale à y )?

[Dynamix]

Vu que l'on n'est pas sûr que les nombres soit identique, j'ai pris deux nombres différents(x et y)

Même si ce n' est pas la bonne méthode , je comprendrais que tu ais une équation en x et une en y , mais pas une équation en x et y (1/x = y -1)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dachy]

Ahh oui pardon, je me suis trompé en recopiant, c'est bien (1/y = y -1)

[Dynamix]

Tu n' as pas besoin de résoudre les équations , il suffit de les comparer .

[PlaneteF]

Bonjour,

Tu n' as pas besoin de résoudre les équations , il suffit de les comparer .

La seule comparaison ne suffira pas pour conclure. Si l'on trouve la même équation (je laisse le soin à Dachy de vérifier ce point), la conclusion ne sera pas la même si l'équation du second degré n'a aucune solution, une seule solution ou 2 solutions distinctes. Donc sans résoudre l'équation, on peut regarder le signe du discriminant et conclure

Cordialement

[Dachy]

Comme ça ? (x+1)/x - y^3 + y^2 = 0.

[PlaneteF]

Comme ça ? (x+1)/x - y^3 + y^2 = 0.

… tu sors ça d'où ?

Tu te fais des nœuds au cerveau pour rien, ... transforme tout simplement l''équation en une équation du second degré, … regarde le message#7, … puis conclus

Cordialement

[Dynamix]

La seule comparaison ne suffira pas pour conclure. Si l'on trouve la même équation (je laisse le soin à Dachy de vérifier ce point), la conclusion ne sera pas la même si l'équation du second degré n'a aucune solution, une seule solution ou 2 solutions distinctes. Donc sans résoudre l'équation, on peut regarder le signe du discriminant et conclure
Cordialement

Si c' est la même équation , le discriminant est le même .

[Dachy]

Le problème c'est que je n'ai pas encore vu delta (Je crois que c'est plus au programme de 2nd). Sinon je vois pas bien comment je dois comparer les deux équations.

[PlaneteF]

Si c' est la même équation , le discriminant est le même .

Oui mais la conclusion ne sera pas la même en fonction du signe du discriminant, donc il y a un acte supplémentaire à effectuer par rapport à la seule comparaison des équations

Cordialement

[ansset]

Le problème c'est que je n'ai pas encore vu delta (Je crois que c'est plus au programme de 2nd). Sinon je vois pas bien comment je dois comparer les deux équations.

.
multiplie par y (qui est non nul ) les deux membres de l'équation en y, qu'obtiens tu ?

quand au reste, il y a effectivement un iatus dans l'énoncé ( "même nombre" ) car l'équation a deux solutions.
il faut donc préciser par exemple : nombre positif,
ou alors mettre "nombre" au pluriel.

[jacknicklaus]

Paul et Marie parle-t-il du même nombre ?

désespérant de voir des énoncés aussi mal fagottés (sans parler de la faute d'orthographe).
La réponse peut être aussi bien : oui, ou non, ou pt'êt ben qu'oui, p'têt ben qu'non. !!

[raymolk]

La réponse peut être aussi bien : oui, ou non, ou pt'êt ben qu'oui, p'têt ben qu'non. !!

Non : la seule réponse valide est « pt'êt ben qu'oui, p'têt ben qu'non »

[ansset]

autre réponse possible : "une chance sur deux".

[PlaneteF]

désespérant de voir des énoncés aussi mal fagottés (sans parler de la faute d'orthographe).

Effectivement. On pourrait amender et préciser la question de ces deux manières avec résultat exactement opposé :

1) Paul et Marie parlent-il nécessairement du même nombre ?

Réponse : Non

Avec un discriminant=0 la réponse aurait été Oui

2) Est-il possible que Paul et Marie parlent du même nombre ?

Réponse : Oui

[Dachy]

1/y = y -1
1/y*y = (y- 1)* y
1 = y^2 - y
0 = y^2 - y - 1

Mais je ne vois pas la suite...

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Paul et Marie pourraient faire phi de tout ça...

OK

Plus sérieusement, Dachy, ne vois-tu pas une similitude entre la dernière relation que tu as écrite dans ton dernier message et celle correspondante à la première équation ?

Cordialement,
Duke.

[PlaneteF]

Bonjour,

Paul et Marie pourraient faire phi de tout ça...

Pas mal

... En fait Paul avait peur de certaines ombres pour dormir, mais Marie l'a rassuré en lui disant :

"Il n'y a aucune ombre, dors"

(celle là elle est méchamment gratinée )

OK

Du coup, je te suis

[Duke Alchemist]

Re-

... En fait Paul avait peur de certaines ombres pour dormir, mais Marie l'a rassuré en lui disant :

Il n'y a aucune ombre, dors

(celle là elle est gratinée )

+1 ... J'adore
Bon, je te propose qu'on arrête de perturber Dachy pour le coup qui n'a pas à déterminer la (les) valeur(s) mais juste savoir si elles sont potentiellement identiques.
La (les) réponse(s) possible(s) a (ont) été donnée(s) à multiples reprises sous des formes différentes...
J'en ai une autre qui n'utilise pas le discriminant.

Cordialement,
Duke.

[gg0]

Bonjour Dachy.

Tu n'as pas de réponse franche parce que ton énoncé est un peu flou.
Tu as vu que le nombre dont parle Paul est une solution de l'équation x²-x-1 = 0; et que le nombre dont parle Marie est une solution de l'équation x²-x-1 = 0. En seconde, on n'a pas étudié à fond les équations du second degré, dont tu n'as pas le choix, il faut que tu regardes combien cette équation a de solution. S'il n'y en a qu'une, ils parlent du même nombre, s'il y en a 2 ou plus, ils peuvent ne pas parler du même nombre (la réponse ne sera pas "non" mais "on ne sait pas").
Pour résoudre ton équation, tu peux utiliser un "truc", compléter le carré. Le "x² - .. " fait penser au développement de (x - ..)². On va essayer d'avoir tous les x dans le carré, donc le - x serait le double produit, on va l'écrire ainsi :
x² - 2 x * (1/2) - 1 =0
Si on met brutalement (x-1/2)², ça devient faux car (x-1/2)² = x² - 2 x * (1/2) + 1/4, donc on n'oubliera pas de corriger le 1/4 :
x² - 2 x * (1/2) + 1/4 - 1/4 -1 = 0
(x- 1/2)² - 5/4 = 0
Et on a une belle différence de deux carrés (vois-tu de quoi 5/4 est le carré) qui permet de factoriser et de finir la résolution.

Cordialement.

[ansset]

bjr,
il est possible que lui soit suggéré ( dans les cours ) de tracer le polynôme avec une calculatrice.
ce n'est pas ma tasse de thé, mais je sais que cette approche est assez fréquente aujourd'hui.

[Dachy]

x^2 = x + 1
x^2 - x - 1 = 0

1/y = y - 1
1/y*y = (y - 1)*y
1 = y^2 - y
0 = y^2 - y - 1

x et y ont au moins un solution commune.
Peut-être qu'ils parlent du même nombre.

[ansset]

x et y ont au moins un solution commune.
Peut-être qu'ils parlent du même nombre.

Ce n'est pas une bonne réponse. ( première phrase )
Car c'est exactement la même équation.
donc, ce dont on est sûr, c'est que la ou les solutions de l'une sont solutions de l'autre.
Il ne peut y avoir de solutions différentes.

Et dans le cas présent, l'équation a deux solutions.
C'est ce qu'il faut montrer.
Ensuite, si chacun propose une seule solution parmi les deux, alors on ne peut pas savoir s'ils proposent la même.

[Dachy]

Comment je fais pour faire un système avec ces équations ? Il y a un autre moyen de montrer le nombre de solution qu'il y a.

[ansset]

Comment je fais pour faire un système avec ces équations ? Il y a un autre moyen de montrer le nombre de solution qu'il y a.

On montre d'abord qu'il n'y a qu'une seule équation et pas un système avec 2 équations.
Pour montrer ensuite qu'il existe 2 solutions tu as au moins 3 méthodes.
- tracer graphiquement la courbe x²-x-1 ( si cela est habituel dans l'étude des courbes de tes cours )
-suivre la démonstration proposée par gg0 ( post #22 )
-faire le tableau de variation de la fonction f(x)=x²-x-1 , si cela a été vu en cours.

je suppose que si on te propose cet exercice , tu as du voir au moins qcq chose sur de tels polynômes.