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Aire d'une ogive en 3D



  1. #1
    AmigaOS

    Aire d'une ogive en 3D


    ------

    Bonjour

    Je cherche désespérément la formule de l'aire de la surface latérale d'une ogive en 3D.
    Quelqu'un la connait ou sais la calculer (contrairement à moi) ?

    Merci

    -----

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  3. #2
    gg0

    Re : Aire d'une ogive en 3D

    Bonjour.

    Le mot "ogive" est assez flou. J'imagine qu'il s'agit d'un volume ressemblant à un obus. L'aire latérale dépend fortement de la forme de l'ogive.
    Par contre, si l'ogive est obtenue par rotation autour de l'axe des x d'une surface limitée par Ox, Oy et une courbe de fonction définie de 0 à a, il y a une formule élémentaire pour le volume, et une autre très compliquée pour l'aire (voir "surface de révolution" sur Internet). Lorsqu'on n'est pas dans ce cas, il y a peu de chances d'avoir une formule. D'ailleurs, en industrie, on se contente de calculs approchés.

    Cordialement.

    NB : Cette question ne relève pas vraiment des maths du lycée !

  4. #3
    Dynamix

    Re : Aire d'une ogive en 3D

    Salut

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    D'ailleurs, en industrie, on se contente de calculs approchés.
    Les logiciels de CAO le donne instantanément .

  5. #4
    gg0

    Re : Aire d'une ogive en 3D

    Effectivement,

    c'est une de leurs fonctionnalité. Mais c'est un calcul approché.

    Cordialement.

  6. #5
    AmigaOS

    Re : Aire d'une ogive en 3D

    Une image pour mieux comprendre ce que je cherche :
    Ogive 3D.jpg

    Pour approcher la formule, je me suis dit,
    si le rayon de la base(ne pas confondre avec le rayon du cercle sur l'image) est égale à la hauteur alors on a une demi sphère de surface : 2.PI.R² = 2.PI.R.h
    Si la hauteur de l'ogive est infinie devant le rayon de la base alors on a un cône de surface : PI.R.h.
    On a donc PI.R.h * C. Avec C qui varie entre 1 et 2.
    Du coup je me suis dit que la formule pour l'ogive pourrait être quelque chose comme :
    S = PI.R.h * (R/h+1) ou S = PI.R.h * ((R/h)²+1) ...
    Dernière modification par AmigaOS ; 22/03/2020 à 15h31.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    gg0

    Re : Aire d'une ogive en 3D

    OK !

    On est bien dans le cas d'une surface de révolution. Engendrée par un demi-arc de cercle, tournant autour de la demi-corde correspondante.
    Tu as une donnée de trop ici, car, par exemple, la connaissance de r et m donne la valeur de h.Je ne me servirai alors que de r et m.

    On place l'axe des x de façon qu'il passe par les intersections de deux cercles, l'axe des y passe par les deux centres, dirigé par exemple vers le cercle de droite. L'aire de l'ogive est l'aire de révolution engendré par l'arc du cercle de gauche dont il est facile de trouver une équation : le centre est sur Oy à l'ordonnée -r+m/2 et le rayon est connu.

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  10. #7
    Paraboloide_Hyperbolique

    Re : Aire d'une ogive en 3D

    Bonjour,

    En cherchant sur Wolfram, j'ai trouvé le lien suivant qui peut aider, en particulier l'équation (5): https://mathworld.wolfram.com/Lens.html

  11. #8
    gg0

    Re : Aire d'une ogive en 3D

    Je reprends, j'ai eu un souci habituel : le texte part sans que j'ai appuyé sur "envoyer". Comme on ne peut rectifier que peu de temps, c'est pénible !

    Équation du cercle x²+(y+r-m/2)²=r²
    De l'arc : pour x variant de 0 à h
    en égalant à 0, on trouve h :

    Il n'y a plus qu'à utiliser la formule de la remarque 3 de ce document.
    Je te laisse faire le calcul ...

  12. #9
    gg0

    Re : Aire d'une ogive en 3D

    La formule obtenue est assez compliquée, mais peut se simplifier en

    est l'angle au centre interceptant l'arc, exprimé en radians.

    Sous réserve de mauvaise manipulation de mon esclave numérique.

  13. #10
    AmigaOS

    Re : Aire d'une ogive en 3D

    Oh merci.
    Je préférerais avec m et h. Et r=h²/m+m/4. J'ai réussit à faire ça déjà ^^
    La fonction des cercles que j'ai trouvé est : f(x) = ± ( racine((h²/m+m/4)²-x²) -h²/m - m/4 )
    Donc grâce à la formule de votre document (remarque 3) ça me fait :
    formule.jpg
    Est-ce ok ?

    J'ai pas bien compris de quel angle il s'agit pour alpha.

  14. #11
    gg0

    Re : Aire d'une ogive en 3D

    Il y a probablement une erreur dans f(x), je trouve plutôt +m/4 à la fin (j'ai pour ma part un -r+m/2).

    L'angle alpha se calcule comme Arcsin(h/r).

  15. #12
    AmigaOS

    Re : Aire d'une ogive en 3D

    A effectivement, j'ai un +m/4 maintenant aussi.
    L'angle alpha se calcule comme Arcsin(h/r).
    D'accord. Je vais faire quelques tests avec cette formule.

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  17. #13
    AmigaOS

    Re : Aire d'une ogive en 3D

    Je viens d'essayer avec un exemple en simulation numérique et j'ai trouvé 4% d'écart entre la formule avec alpha et ma simulation.

  18. #14
    gg0

    Re : Aire d'une ogive en 3D

    Quelles sont tes données ?

  19. #15
    AmigaOS

    Re : Aire d'une ogive en 3D

    Ah! J'avais utilisé la mauvaise formule pour ma simulation numérique. Maintenant c'est bon. J'ai le même résultat à 0.2% près
    Merci pour l'aide !

  20. #16
    AmigaOS

    Re : Aire d'une ogive en 3D

    Hmm... J'avais aussi besoin de la formule du volume de l'ogive et j'en avais trouvé une sur internet qui est : V=2*PI*d²*h/15. Mais je me rends compte que maintenant qu'il s'agit en faite de celle d'un cône parabolique. Du coup c'est ma question suivante Quel est le volume de mon ogive du départ ?

  21. #17
    gg0

    Re : Aire d'une ogive en 3D

    La formule est plus simple :

    Je te laisse calculer ..

    Cordialement.

  22. #18
    AmigaOS

    Re : Aire d'une ogive en 3D

    Voilà ce que je trouve :
    Volume equations.jpg
    Vu la taille des équations il est très probable que j'ai fait des erreurs puisque je suis très fort pour me trompé sur ce genre de choses.

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  24. #19
    gg0

    Re : Aire d'une ogive en 3D

    J'ai fait faire le calcul par un logiciel de calcul formel (exact), en utilisant les lettres R, h et m, ce qui simplifie, on obtient un résultat assez peu engageant :

    Remplacer R par sa valeur en fonction de m et h ne sert pas à grand chose

    Cordialement.

  25. #20
    AmigaOS

    Re : Aire d'une ogive en 3D

    Je viens de faire le test et là j'obtiens une valeur trop petite. J'essaye toujours avec m=2, h=3, r=3²/2+2/4=5. En simulation numérique j'ai 5,17 et avec la formule j'ai 2,53. Même avec la formule du cône qui devrait donner un résultat plus petit j'obtiens 3,14.

  26. #21
    gg0

    Re : Aire d'une ogive en 3D

    Heu ... il manque un facteur pi !! Mais l'application de la formule me donne environ 7,95. Ce qui est effectivement gros par rapport à ton essai. Et différent de ton 2,53.
    Je refais faire les calculs à mon esclave calculateur ...

  27. #22
    gg0

    Re : Aire d'une ogive en 3D

    Je devais avoir l'esprit ailleurs !
    Finalement, en jouant sur les variables, j'obtiens cette formule, qui donne environ 5,18 pour tes données :

    C'est plus simple !

    Cordialement.

  28. #23
    AmigaOS

    Re : Aire d'une ogive en 3D

    Super ça fonctionne. Merci!

  29. #24
    AmigaOS

    Re : Aire d'une ogive en 3D

    Une dernière question. Comment peut-on au mieux appeler ce volume avec les bons thermes mathématiques ?

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  31. #25
    gg0

    Re : Aire d'une ogive en 3D

    Je ne sais pas s'il existe un nom pour cette surface et ce volume. Tu peux reprendre les termes (sans h) que j'utilisais au message #6.

    Cordialement.

  32. #26
    AmigaOS

    Re : Aire d'une ogive en 3D

    D'accord. Merci!

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