Aire d'une ogive en 3D

[AmigaOS]

Bonjour

Je cherche désespérément la formule de l'aire de la surface latérale d'une ogive en 3D.
Quelqu'un la connait ou sais la calculer (contrairement à moi) ?

Merci
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[gg0]

Bonjour.

Le mot "ogive" est assez flou. J'imagine qu'il s'agit d'un volume ressemblant à un obus. L'aire latérale dépend fortement de la forme de l'ogive.
Par contre, si l'ogive est obtenue par rotation autour de l'axe des x d'une surface limitée par Ox, Oy et une courbe de fonction définie de 0 à a, il y a une formule élémentaire pour le volume, et une autre très compliquée pour l'aire (voir "surface de révolution" sur Internet). Lorsqu'on n'est pas dans ce cas, il y a peu de chances d'avoir une formule. D'ailleurs, en industrie, on se contente de calculs approchés.

Cordialement.

NB : Cette question ne relève pas vraiment des maths du lycée !

[invitef29758b5]

Salut

D'ailleurs, en industrie, on se contente de calculs approchés.

Les logiciels de CAO le donne instantanément .

[gg0]

Effectivement,

c'est une de leurs fonctionnalité. Mais c'est un calcul approché.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[AmigaOS]

Une image pour mieux comprendre ce que je cherche :


Pour approcher la formule, je me suis dit,
si le rayon de la base(ne pas confondre avec le rayon du cercle sur l'image) est égale à la hauteur alors on a une demi sphère de surface : 2.PI.R² = 2.PI.R.h
Si la hauteur de l'ogive est infinie devant le rayon de la base alors on a un cône de surface : PI.R.h.
On a donc PI.R.h * C. Avec C qui varie entre 1 et 2.
Du coup je me suis dit que la formule pour l'ogive pourrait être quelque chose comme :
S = PI.R.h * (R/h+1) ou S = PI.R.h * ((R/h)²+1) ...

[gg0]

OK !

On est bien dans le cas d'une surface de révolution. Engendrée par un demi-arc de cercle, tournant autour de la demi-corde correspondante.
Tu as une donnée de trop ici, car, par exemple, la connaissance de r et m donne la valeur de h.Je ne me servirai alors que de r et m.

On place l'axe des x de façon qu'il passe par les intersections de deux cercles, l'axe des y passe par les deux centres, dirigé par exemple vers le cercle de droite. L'aire de l'ogive est l'aire de révolution engendré par l'arc du cercle de gauche dont il est facile de trouver une équation : le centre est sur Oy à l'ordonnée -r+m/2 et le rayon est connu.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

En cherchant sur Wolfram, j'ai trouvé le lien suivant qui peut aider, en particulier l'équation (5): https://mathworld.wolfram.com/Lens.html

[gg0]

Je reprends, j'ai eu un souci habituel : le texte part sans que j'ai appuyé sur "envoyer". Comme on ne peut rectifier que peu de temps, c'est pénible !

Équation du cercle x²+(y+r-m/2)²=r²
De l'arc : pour x variant de 0 à h
en égalant à 0, on trouve h :

Il n'y a plus qu'à utiliser la formule de la remarque 3 de ce document.
Je te laisse faire le calcul ...

[gg0]

La formule obtenue est assez compliquée, mais peut se simplifier en

où est l'angle au centre interceptant l'arc, exprimé en radians.

Sous réserve de mauvaise manipulation de mon esclave numérique.

[AmigaOS]

Oh merci.
Je préférerais avec m et h. Et r=h²/m+m/4. J'ai réussit à faire ça déjà ^^
La fonction des cercles que j'ai trouvé est : f(x) = ± ( racine((h²/m+m/4)²-x²) -h²/m - m/4 )
Donc grâce à la formule de votre document (remarque 3) ça me fait :

Est-ce ok ?

J'ai pas bien compris de quel angle il s'agit pour alpha.

[gg0]

Il y a probablement une erreur dans f(x), je trouve plutôt +m/4 à la fin (j'ai pour ma part un -r+m/2).

L'angle alpha se calcule comme Arcsin(h/r).

[AmigaOS]

A effectivement, j'ai un +m/4 maintenant aussi.

L'angle alpha se calcule comme Arcsin(h/r).

D'accord. Je vais faire quelques tests avec cette formule.

[AmigaOS]

Je viens d'essayer avec un exemple en simulation numérique et j'ai trouvé 4% d'écart entre la formule avec alpha et ma simulation.

[gg0]

Quelles sont tes données ?

[AmigaOS]

Ah! J'avais utilisé la mauvaise formule pour ma simulation numérique. Maintenant c'est bon. J'ai le même résultat à 0.2% près
Merci pour l'aide !

[AmigaOS]

Hmm... J'avais aussi besoin de la formule du volume de l'ogive et j'en avais trouvé une sur internet qui est : V=2*PI*d²*h/15. Mais je me rends compte que maintenant qu'il s'agit en faite de celle d'un cône parabolique. Du coup c'est ma question suivante Quel est le volume de mon ogive du départ ?

[gg0]

La formule est plus simple :

Je te laisse calculer ..

Cordialement.

[AmigaOS]

Voilà ce que je trouve :

Vu la taille des équations il est très probable que j'ai fait des erreurs puisque je suis très fort pour me trompé sur ce genre de choses.

[gg0]

J'ai fait faire le calcul par un logiciel de calcul formel (exact), en utilisant les lettres R, h et m, ce qui simplifie, on obtient un résultat assez peu engageant :

Remplacer R par sa valeur en fonction de m et h ne sert pas à grand chose

Cordialement.

[AmigaOS]

Je viens de faire le test et là j'obtiens une valeur trop petite. J'essaye toujours avec m=2, h=3, r=3²/2+2/4=5. En simulation numérique j'ai 5,17 et avec la formule j'ai 2,53. Même avec la formule du cône qui devrait donner un résultat plus petit j'obtiens 3,14.

[gg0]

Heu ... il manque un facteur pi !! Mais l'application de la formule me donne environ 7,95. Ce qui est effectivement gros par rapport à ton essai. Et différent de ton 2,53.
Je refais faire les calculs à mon esclave calculateur ...

[gg0]

Je devais avoir l'esprit ailleurs !
Finalement, en jouant sur les variables, j'obtiens cette formule, qui donne environ 5,18 pour tes données :

C'est plus simple !

Cordialement.

[AmigaOS]

Super ça fonctionne. Merci!

[AmigaOS]

Une dernière question. Comment peut-on au mieux appeler ce volume avec les bons thermes mathématiques ?

[gg0]

Je ne sais pas s'il existe un nom pour cette surface et ce volume. Tu peux reprendre les termes (sans h) que j'utilisais au message #6.

Cordialement.

[AmigaOS]

D'accord. Merci!