Intersection d'un triangle par une droite

[Minuitdixhuit]

Bonjour,
J’ai une petite question dont la réponse me servira à poursuivre mon travail amateur de modélisation 3D. Mais je suis plus « artiste » que mathématicien et je bute dans mes recherches…
Voici mon problème :
Je connais les coordonnées x y z de 3 points dans l’espace et qui forment donc un triangle. Je connais également les coordonnées x y z d’un point distinct dans l’espace.
Ce point se déplace selon l’axe des y de haut en bas… En fait il tombe…
Je voudrais savoir si dans son chemin il heurtera le triangle. On comprend qu’il ne le fera pas si il est « à côté » du triangle ou si il est en dessous du triangle. Mais comment le déterminer ? Et dans le cas où il le heurte, quelles sont les coordonnées du point d'impact sur le triangle…
Merci pour votre aide…
Cordialement.
PS : Ceci me permettra de modéliser la déformation d’un objet « mou » par un objet « dur » comme par exemple un coussin sur lequel on s’assoit…
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[jacknicklaus]

Bonjour.
la démarche serait la suivante :
on pose u et v :


P est le point qui "tombe", coordonnées xp, yp, zp
équation du plan dans lequel est inscrit le triangle : un point M est dans ce plan si on a lambda et mu tels que

équation de la droite "de chute" du point P (y est l'axe vertical) :


donc le point d'intersection Q de la droite et du plan est donné par le système


ce qui donne lambda et mu. d'où yq


Il reste à savoir si le point Q est à l'intérieur du triangle. il faut calculer 3 produits verctoriels




si les 3 quantités sont de même signe, le point Q est à l'intérieur

enfin, pour savoir si Q est au dessus de P, il suffit de comparer yp et yq

[Minuitdixhuit]

Merci, super sympa...

Cependant le niveau de la réponse est un peu supérieur à mon niveau de compréhension. Je ne vois pas bien quelles sont les valeurs connues et celles inconnues.
Même si cela n'est pas très élégant, pourriez vous exemplifier avec un cas réel de coordonnées numériques explicites ?
Merci pour votre secours. En attendant je me replonge dans votre description pour tenter de m'y retrouver !

Bon dimanche.
M18

[jacknicklaus]

En développant les calculs :

1) Les données
les 3 points A,B,C, de coordonnées A(A_x,A_y,A_z), B(B_x,B_y,B_z), C(C_x,C_y,C_z),
le point P (celui qui "tombe" selon l'axe y) P(P_x,P_y,P_z)

2) les calculs
on cherche Q(Q_x,Q_y,Q_z,) intersection du plan porté par le triangle (A,B,C) et de la droite passant par P et parallèle à l'axe y
trivialement Q_x = P_x et Q_z = Q_z. reste à calculer Q_y.
je pose










tous calculs faits



pour savoir si le point Q est à l'intérieur du triangle, il faut et il suffit que les 3 valeurs suivantes aient le même signe (tous positifs ou tous négatifs) :






pour savoir si le point P est au dessus de ce triangle, c'est à dire au dessus de Q, il faut et il suffit que


sauf erreur... fait à la main donc pas garanti...

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

En relisant j'ai fait une erreur dans un des produits vectoriels.
Remplacer :

par

[jacknicklaus]

avec l'algo et un exemple numérique.
je pense que tu n'auras aucun mal à comprendre le petit langage de script utilisé.

[Minuitdixhuit]

Super !!! C'est exactement ce dont j'avais besoin.
J'ai encore des détails d'analyse à régler, genre si le point qui "tombe" est plus bas que le triangle dois-je déplacer tout le triangle vers le bas ou lui faire subir une rotation pour que le point soit sur la surface du triangle (se souvenir que je veux modéliser la déformation d'un coussin -triangle mou- sur lequel je pose ma tête -point dur qui tombe-) mais ceci est plus "artistique" et je pense pouvoir m'en sortir... Ou vous ressolliciter...
Bon confinement !!!

1000 mercis

M18