Fonctions (une roquette lancée verticalement)

[Takami]

Bonsoir,

Je vous passe les détails de ma vie, notamment ceux qui font qu'à 22 ans je me retrouve au niveau lycée (4ème secondaire en Belgique) et j'en viens directement au fait, c'est mieux.
Donc voilà, actuellement j'ai un devoir maison à rendre assez vite, étant donné que j'ai déjà pas mal de retard. J'ai passé plusieurs heures à essayer quelques trucs mais je n'ai pas réussi. Je souhaiterais donc un petit coup de main afin de débloquer la situation. Voici mes exercices :

La hauteur en (km) d'une roquette lancée verticalement vers le haut est donnée par la fonction suivante :
H(t) = 200t - 4t²

1) Factorise H(t);
2) Quelle sera la hauteur atteinte par la roquette après 20 secondes ?
3) Quand est-ce que la roquette atteindra-t-elle une hauteur de 1600 kms ?
4) A quel(s) moment(s) la roquette atteindra-t-elle la hauteur maximale ? Détermine cette hauteur maximale.
5) A quel(s) moment(s) la roquette touchera-t-elle le sol ?

Dans un premier temps, voici mes réponses :

1) t x (200 - 4t)
2) H(20) = (200 x 20) - (4 x 20²) = 2400 kms

Je bloque donc à partir de la question 3 (en partant du principe que ces deux réponses soient justes). Ce qui m'embête c'est le manque d'informations données par l'exercice. J'ai l'impression que c'est incomplet mais je dois probablement me tromper. Bref. Pour la question 3, j'ai essayé plusieurs choses notamment en passant par Detla mais je ne trouve pas de réponses qui me conviennent, je tombais sur des temps négatifs ou 7, quelque chose..

Quelqu'un pour me venir en aide s'il vous plaît ?
Merci d'avance
-----

[gg0]

Non, rien d'incomplet.
Traduis avec H la phrase "la roquette atteint une hauteur de 1600 km" pas de s à km, on penserait à des kilomètres secondes. Puis résous ...

Cordialement.

[Takami]

Bonjour,

Merci pour ta réponse. À vrai dire, j'étais parti à la base sur quelque chose comme "1600 = 200t - 4t²" mais ça ne donnait rien de concluant à l'arrivée. Aurais-je dû continuer vers cette voie ?

[ansset]

Bonjour,

J'ai l'impression que c'est incomplet mais je dois probablement me tromper. Bref. Pour la question 3, j'ai essayé plusieurs choses notamment en passant par Detla mais je ne trouve pas de réponses qui me conviennent, je tombais sur des temps négatifs ou 7, quelque chose..

quelle équation as tu posée ?
car on a effectivement une équation du second degré.
au final, elle donne d'ailleurs deux résultats positifs pour t.
ce qui est normal, car l'un correspond a sa phase de montée et l'autre à sa redescente.

À vrai dire, j'étais parti à la base sur quelque chose comme "1600 = 200t - 4t²" mais ça ne donnait rien de concluant à l'arrivée.

C'est pourtant la bonne équation, donc c'est la résolution où tu as du faire des erreurs de signe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Takami]

Hello,

Merci de ta réponse. Donc ce que j'ai fait ensuite, c'est que j'ai posé, en me servant d'anciens exercices, : 200t - 4t² - 1600 = 0. Après ça, j'ai divisé par 4 pour réduire et chercher Delta par la suite par la formule b² - 4ac. Ce qui me donne donc 50² - 4 x 1 x (-400) = 4100. La racine de 4100 est = 64,03124237... Arrondissons à 2 chiffres après la virgule, ça me donne donc 64,03.
Delta étant supérieur à 0, il y a deux racines :

x1 = (-200 + 64,03) : (2 x -4) = -135,97 : (-8) = 16,99625 arrondi à 17
x2 = (-200 - 64,03) : (2 x -4) = -264,03 : (-8) = 33,00375 arrondi à 33

Est-ce la bonne réponse ? Ça me semble beaucoup..

[gg0]

Ça me semble beaucoup..

Si on veut une signification presque réaliste (*), c'est un obus (plutôt qu'une roquette) qui part à 200 m/s vers le haut. C'est normal qu'il aille assez haut ! Et il lui faut du temps.
Par contre ta résolution d'équation est fausse :
200t - 4t² - 1600 = 0
-t²+50 t - 400 = 0
Delta = 50²-4*(-1)*(-400) = 2500 - 1600.

Cordialement.

(*) Il faudrait supposer que l'air ne fait pas de résistance (c'est vrai au dessus de 400 km) et prendre 4,9t².

[Takami]

Ahah, oui c'est plus de l'ordre d'une arme nucléaire mais bon.. :P
Merci !!Oui, je suis bête, j'oublie de diviser le -4t par 4.. Donc ça me donne :
x1 = (-50 + 30) / -2 = 10s (en montant)
x2 = (-50 - 30) / -2 = 40s (en redescendant)
Ça semble déjà bien mieux vu comme ça !

Non, dans cet exercice il n'y a aucun rapport avec la physique (bien que cela serait pourtant normal) donc aucune quelconque résistance à appliquer dans l'équation. Ce n'est pas pour me déplaire honnêtement, je suis tout aussi mauvais en physique.

Auriez-vous des pistes pour résoudre 4) et 5) ?

[ansset]

Pour la 4) tu as deux solutions.
- soit tu cherches t tel que H'(t)=0 . un polynôme du second degré n'a qu'un extréma ( maximum ou minimum ) , là où sa dérivée s'annule.
- soit tu utilises le fait que sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe t=t(max).
donc comme tu as deux valeurs t1 et t2 correspondant à la même hauteur.
le temps recherché est (t1+t2)/2

la 5) est très facile.
à quoi correspond ( pour H(t) ) le fait qu'elle retombe ?
de plus à la 2) tu as factorisé H(t).

[Takami]

Hum.. Pardon, je ne suis pas sûr de comprendre les deux solutions proposées pour la 4).. À moins que cela ne signifie trouver le sommet et donc par la formule S = (-b / 2a ; - Delta / 4a) je devrais y arriver.

H(t) devrait correspondre à 0 km mais à deux moments différents (lancement + atterrissage) j'imagine.

[ansset]

Pour la 4) c'est aussi une bonne formule, si tu la connais déjà.

pour la 5) oui aussi, yapuka !
soit chercher t diff de 0 tel que H(t)=0

[Takami]

Finalement ça ne m'aide pas, je tombe sur des réponses ridicules comme "225 kms est la hauteur maximale".. Donc je suis malheureusement toujours bloqué.

[ansset]

je ne sais pas ce que tu as pris comme "delta" ! (*)
déjà que trouves tu pour le temps tm ou la fusée est la plus haute ?
ensuite il suffit de faire H(tm) avec pour H(t) la fonction initiale

(*) se méfier des formules apprise par coeur si on ne comprend pas à quoi elle correspondent.

[gg0]

Attention,

le Delta correspond à H= -4t²+200t + 0, pas à celui de ton équation simplifiée

Cordialement.

[Takami]

A = -4 B = 200 c = 0

Delta = b² - 4ac -> 200² - 4 x (-4) x 0 = 40.000
Sommet = (-200 / -8 ; - 40.000 / -16) = (25 ; 2500)

Donc j'en conclus que la hauteur maximale est de 2500 (axe Y) ? Mais je n'ai toujours pas le temps.. (Ou alors le temps c'est 25 se condes [Axe X] en fait..) Donc dans ce cas je peux repartir de la formule utilisée en 3) en faisant 200 t - 4t² - 2500 = 0.
Je n'ai aucune idée de si c'est ne fut-ce que crédible ce que je raconte.

[gg0]

Sommet = (-200 / -8 ; - 40.000 / -16) = (25 ; 2500)
25, c'est quoi ??

[Takami]

C'est le temps en secondes.. J'ai édité mon message juste après ahah..

[Takami]

Et donc pour la 5, en cherchant les zéros :

200 t - 4t² = 0

Delta = 40.000 (racine = 200)

x1 = (-200 + 200) / -8 = 0s (lancement)
x2 = (-200 - 200) / -8 = 50s (atterrissage)

Ça me paraît bon.

[ansset]

200t-4t²=4t(50-t) par exemple ( factorisation demandée au début )
donc soit t=0, soit t=50
inutile d'utiliser les discriminants à tours de bras !!

[Takami]

200t-4t²=4t(50-t) par exemple ( factorisation demandée au début )
donc soit t=0, soit t=50
inutile d'utiliser les discriminants à tours de bras !!

C'est pas faux.. Bon en tout cas, je tenais à vous remercier de m'avoir aidé. J'ai enfin pu rendre ce devoir.

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Personnellement, je suis plus intrigué par les unités... Si la hauteur est en km, la vitesse initiale serait de 200 km/s !... Mach 588 !... Whaou !
Et une hauteur de 1600 km dépasse un peu la haute atmosphère donc côté crédibilité (même si cela était 4,9 devant le t² comme l'indique gg0, cela ne modifierait pas autant la hauteur).
Sur Terre, certaines roquettes ont une vitesse initiale proche de 300 m/s (voir ici) et pour d'autre atteindre une altitude de plus de 20 km alors certes ce n'est pas suivant la verticale mais j'ai un doute sur les 1600 km et les 2500 km surtout... Il y aura quelques satellites en moins et plus de débris...

Cordialement,
Duke.

[ansset]

pas faux.
l'énoncé a été pris tel quel, mais il s'agissait probablement de m ( surtout pour une "roquette" )

[Takami]

Bonsoir Duke,

Je ne pense pas qu'il faille accorder grande importance à la probabilité et/ou à la véracité des chiffres sortis d'un exercice de mathématiques niveau seconde.
Mais votre interrogation est intéressante cela dit.

[gg0]

C'était le bon moment, Duke, pour soulever cette question que j'ai volontairement laissé de côté pour rester sur les techniques mathématiques.

Cordialement.