Périmètre de spirale

[inviteb3accf50]

Bonjour,

Pour un projet personnel, je chercher à afficher un point, point dont le sous-jacent est une spirale d'Archimède.
Le point n'est pas défini par des coordonnées, mais par sa distance par rapport à l'origine (0). Je connais donc le "périmètre" et je dois retrouver les coordonnées du point.

Si le sous-jacent était une simple fonction affine f(x) = ax commençant à zéro, le "périmètre" est et je retrouve x et y avec une équation à deux inconnues, mais y'a plus simple : on détermine l'angle que fait la droite avec l'axe des x selon , les coordonnées sont du genre x = longeur fois cos alpha, y = longeur fois sin alpha.

Avec le sous-jacent en spirale, il me semble que la meilleure solution est de déduire les coordonnées ro et théta en suivant la courbe que forme la spirale d'Archimède, donc en connaissant l'équation donnant le périmètre de la spirale à partir de ro et théta, b et a selon

Et là je sèche... J'ai bien tenté l'intégrale sur cette fonction polaire mais ça donne n'importe quoi. Quelqu'un connais la formule du périmètre en coordonnées polaire ? Ou est-ce que je fais fausse piste (en plus de raconter n'importe quoi) ? Ca fait bien bien longtemps que je ne vais plus à l'école !
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[jacknicklaus]

la longueur d'une courbe paramétrée x(t) y(t), entre t = 0 et t = T est donnée par

[gg0]

Bonjour.

Difficile de parler de périmètre (*) pour une courbe. En tapant "longueur d'une courbe en polaire", j'ai obtenu de mon moteur de recherche des tas de documents, dont celui-ci, de Serge Mehl. Tu y trouveras ce qu'il te faut.
Je n'ai pas trop compris pourquoi tu intégrais cette fonction pour trouver une longueur ...

Cordialement.

(*) longueur de la courbe fermée (supposée simple) qui entoure une portion de plan bornée, de "péri" : autour, qui entoure. Et c'est le périmètre de cette portion de plan. Exemple : périmètre d'un disque.

[jiherve]

bonsoir
avec intégrale curviligne spirale d'Archimède on trouve tout.
JR

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

La formule donnant la longueur de la spirale pour thêta variant de 0 à t n'est pas très agréable, et je ne vois vraiment pas comment l'inverser ! Même pour la spirale de base (r=thêta), on obtient :

Retrouver t à partir de l ... mon calculateur formel baisse les bras. Il faudra sans doute passer par un calcul approché.

Cordialement.

NB : Ça ne relève pas vraiment du collège/lycée.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

Si l'on dispose d'un paramètre t minimal (t = 0 ?) et d'un paramètre t maximal (t = T), et comme il s'agit (il me semble) d'un problème d'ordre numérique, une petite dichotomie pour trouver la valeur (approximative) de t pour une longueur l donnée ne suffirait-elle pas ?

[gg0]

Comme la fonction l(t) est strictement croissante, la dichotomie marche bien, mais une méthode rapide, comme celle de Newton ou simplement celle de la corde, est efficace.

[inviteb3accf50]

Je vous remercie pour tous ces indices et directions possibles.

A priori... tout pense à croire qu'il n'y a pas de solution simple de type f(longueur) = (x,y). Je cherche à éviter les méthodes par intégration numériques (concrètement : des boucles itératives) puisque le programme ne doit pas passer trop de temps dans ce calcul (même si la dichotomie est peu gourmande, il est vrai).

D'un autre côté, la longueur est strictement positive, le "rayon" commençant à 15000 et finissant à 60000 - on peut assimiler la spirale à un sillon de disque vinyl, et la longueur connu, à l'horodatage.

Je connais la longueur, je peux rapidement avoir une approximation du rayon si je triche en considérant la spirale comme une suite de cercles concentriques avec un inter-espace constant. Mais, en l'absence de l'angle , je ne peux pas positionner le point précisément sur le cercle de rayon ro. JCette approximation m'a semblé caduque.

Passer par du paramétré x(t) et y(t) est peut-être pas mal.
Je continue ma réflexion sur le papier et reviens si j'ai d'autres problèmes.

[gg0]

La dichotomie n'est pas le plus rapide, mais il doit être facile de déterminer un intervalle d'un tour sur la valeur de thêta, voire un demi-tour ou un quart de tour, et de traiter la recherche d'une valeur suffisamment précise par une méthode rapide (Newton).

Cordialement.

[jacknicklaus]

on peut assimiler la spirale à un sillon de disque vinyl

Dans ce cas, dans l'expression de gg0 que je prends telle quelle, regarde si on peut considérer le terme t très grand devant 1. Le 1er terme (équivalent à (1/2) t²)= est très grand devant le second (équivalent à +(1/2) ln(t)). Et l = (1/2)t² ne pose aucun problème d'inversion.

[gg0]

Attention,

c'est la formule pour r=thêta, pas pour r=a*thêta + b.

[inviteb3accf50]

Oui, t est très grand face à 1, donc en effet si , . Je ne vois pas encore comment obtenir x et y sans l'angle.

Pour être un peu plus précis, je connais le pas (écartement inter-spirale) qui est constant, et sur internet il est dit que le pas p = 2 pi a, du coup a = p / (2 pi) .
En outre, dans la formule r = a * thêta + b, b indique le "départ" de la spirale, ici il vaudrait 15000 (b donnant le départ sur l'axe des x par rapport à l'origine).
Bref, la formule r = a * thêta + b (ou r = (p / (2 pi)) * thêta + b ) est vraiment adapté.

J'ai vu sur wikipedia anglais que si la spirale a une vitesse angulaire constante, on a des équations paramétrés assez simple pour trouver x et y... Mais sauf erreur de ma part, la vitesse angulaire constante fait que le "temps" ne peut pas correspondre à la longueur de la spirale : plus je m'éloigne du centre, plus le delta temps sera un longueur physique étendue. Ma comparaison avec le vinyl et la simplification horodatage = longueur n'est pas juste.

gg0, as-tu un lien vers la méthode de Newton ? Je ne connais pas.

Je vous remercie encore pour les indications, je continue de creuser.

[gg0]

Méthode de Newton

Cordialement

[jacknicklaus]

Oui, t est très grand face à 1, donc en effet si , . Je ne vois pas encore comment obtenir x et y sans l'angle.

Ton rayon est donné en fonction de l'angle theta par

soit (1) et

la formule de mon post #2 donne le périmètre L avec une formule assez horrible :



mais si on considère un angle theta tel que , ce qui doit arriver assez vite sur un "vinyl" (au bout de 20 tours on a déjà un rapport 120) , alors un DL de l'expression ci dessus à l'ordre 1 se réduit à

qui s'inverse très bien. D'ou \theta en fonction de L, et enfin x et y en fonction de \theta avec le système 1).
Faut faire quelques essais numériques avec les deux formules de L pour voir à partir de combien de tours la formule simplifiée donne des résultats acceptables.

[jacknicklaus]

D'ou \theta en fonction de L, et enfin x et y en fonction de \theta avec le système 1).

Bon, désolé, cette idée ne marchera pas.

Car prendre le sinus d'un grand nombre, c'est pas facile. Par exemple sin(angle) avec angle = 10^10 + k.
Si 0<k<2pi, alors on a certes une valeur de l'angle à 10^-9 près, ce qui semble cool, mais on a un angle avec une incertitude de 2pi, donc celà ne sert à rien.

Je crains que ton problème d'inversion de formule ne soit insoluble analytiquement et très délicat numériquement, car plus l'angle est grand, plus tu devras avoir de la précision dans l'inversion de la formule L = f(angle), les temps de calcul risquent fort d'exploser.

[gg0]

En même temps, la précision sur la longueur parcourue est elle-même très relative, sauf si on fait peu de tours.
Ça m'intrigue, d'ailleurs, cette longueur sur la spirale. Comment peut-elle être mesurée ?

Cordialement.