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Colinéarité dans un pentagone régulier



  1. #1
    chanou

    Colinéarité dans un pentagone régulier

    Bonjour,

    voilà, j'ai quelques difficultés à faire cette exercice, j'y ai bien réfléchi 2 heures mais l'inspiration ne me vient pas.
    Situation : On considère un pentagone régulier direct ABCDE de centre O.

    Comment montrer que les sommes vectorielles OB + OE et OC + OD sont des vecteurs colinéaires à OA ? (il manque les flèches sur les vecteurs, je ne sais pas comment les mettre). De même comment montrer que les sommes vectorielles OA + OC et OD + OE sont des vecteurs colinéaires à OB ?


    Ensuite je dois en déduire que la somme vectorielle OA + OB + OC + OD + OE = 0

    Si vous pouviez me donner une petite piste pour cette exercice, en vous remerciant d'avance.

    Merci

    -----


  2. #2
    Jackyzgood

    Re : Colinéarité dans un pentagone régulier

    Un pentagone a 5 axes de symétrie, OA en est un. De ce fait on sait que B est le symétrique de E par rapport a OA et de même pour les points C et D. Donc le vecteur OB est symétrique du vecteur OE par rapport a OA, il en est de même pour OC et OD.

    La somme OB+OE du fait des propriétés enuméré avant, est forcément un vecteur porté par la droite OA. Il en est de même pour la somme OC+OD.

    Pour des raisons de symétrie equivalente mais sur l'axe OB, on peut expliquer que les sommes vectorielles OA+OC et OD+OE sont colinéaire au vecteur OB

    On en deduit que :
    OB+OE=OA
    OC+OD=OA
    OA+OC=OB
    OD+OE=OB

    Donc OA+OB+OC+OD+OE=(1++)OA=(1++)OB
    Or OA et OB ne sont pas colinéaire, la seule maniere pour que cette égalité soit juste c'est qu'elle soit nulle ! On en conclue que OA+OB+OC+OD+OE=0
    si c'est idiot mais que ca marche, c'est que ce n'est pas idiot

  3. #3
    chanou

    Re : Colinéarité dans un pentagone régulier

    Alors là tu m'impressionnes, je n'aurais jamais pensé à cette histoire de symétrie. Le chapitre étant consacré à la trigonométrie. Merci beaucoup pour ton aide

    Amicalement

  4. #4
    Thanos

    Re : Colinéarité dans un pentagone régulier

    Encore un qui est resté bloqué sur le 1er exo du 3ème devoir du cours d'été de maths CNED - 1ereS-TleS... C'est pas bien de tricher!
    " Car, non moins que savoir, douter me plaît " Dante

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