Simplifier fraction avec factorielle

[boogie2466]

Bonjour,

J'essaie depuis un petit bout de temps de simplifier une fraction avec des factorielles de nombres/chiffres au carré, mais n'y arrive pas:

((n+1)²)! /(n²)!

Est-ce que pourriez m'aider ?
Car je dois montrer que cette fraction est strict. supérieure, pour tout n>=1, à : n⁴ⁿ⁺²
Mais cela me parait impossible sans avoir simplifiée la fraction d'abord.

Merci beaucoup.
Cordialement.
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[Médiat]

Bonjour,

Il suffit d'écrire (n+1)²=n²+2n+1

[boogie2466]

D'accord. Merci beaucoup

Du coup, ça me donne:

((n²+ 2n+1) x (n² +2n)x(n²+2n-1)x...x1 ) /( n² x (n² -1) x (n²-2) x...x1

Mais je ne vois pas comment simplifier ça, sachant que je n'ai pas de 2n au dénominateur.

[Tryss2]

Et si tu l'écris comme ça ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[boogie2466]

Merci!

Du coup,
j'ai:

(n² + 2n+1).(n²+2n) ... (n²+1)

Faut-il que je développe pour montrer que cette expression est strict. supérieure à : n⁴ⁿ⁺² ?

Ce qui me donnerait:

(n⁴ + 2n³ + 7n² + 2n) ... (n² +1)

Ou bien je dois garder mon expression telle qu'elle ?

[gg0]

Bonjour.

Tu es sérieux quand tu parles de développer ?
Tu as combien de termes ? Tous plus grands que ...

Cordialement

[Tryss2]

Il faut garder l'expression telle quel, et minorer chaque terme du produit

[boogie2466]

Je minore donc avec n=1, le premier terme est minoré par 4, le deuxième par 3 ... le dernier 2, et n⁴ⁿ⁺² est minoré par 1.
Je minore avec n=1 car "n" ne peut pas être inférieur à 1 car dans ma fraction initiale, j'ai (n²)! au dénominateur.
Donc (4)(3)...(2) est supérieur à 1. Mais cela ne me justifie pas que mon expression est supérieure à : n⁴ⁿ⁺², pour n>1

[gg0]

Vraiment, si n=1000, tu minores n²+1 par 1 ???? Surtout que ce que tu veux, c'est n⁴ⁿ⁺²!

[boogie2466]

Qu'entendez vous par minorer ? Car je pensais qu'il s'agissait de donner la limite inférieure d'une expression pour la plus petite valeur de n... Mais ça ne doit pas être ça!
Si n=1000, n² +1, je minore par n² ?

[gg0]

Minorer, c'est donner une valeur plus petite. Pratique quand on veut montrer qu'une certaine expression est plus petite.
Et au lieu de poser des questions, essaie, tu verras bien si ça convient ... Cette manie de demander sans arrêt s'il faut faire ci ou faire ça. On fait, et on sait.

[boogie2466]

Alors, je ne sais pas si c'est correct, mais j'ai trouvé:

En minorant:

(n² +2n)²ⁿ . n²

Or, n⁴ⁿ⁺² = n⁴ⁿ . n²

Donc je dois montrer que:

(n² + 2n)²ⁿ > n⁴ⁿ

Ce qui est le cas, car, en développant, le premier terme= n⁴ⁿ

(n² +2n)²ⁿ s'expliquer du fait que je minore tous les termes successifs, jusqu'au dernier (minoré par n²), par (n² +2n), donc il y a bien: (n² +2n)²ⁿ

Mon raisonnement est-il correct ?

[boogie2466]

Je crois finalement avoir trouvé le raisonnement:

Tous les termes de mon expression étant supérieurs à : n², on les minore tous par n².
Etant donné que j'ai 2n+1 termes dans mon expression, j'ai (n²)²ⁿ⁺¹
Soit: n⁴ⁿ⁺². Mon expression est donc bien minorée par n⁴ⁿ⁺²

Est-ce bien correct ?
Merci beaucoup de votre aide.
Cordialement.

[gg0]

Oui, c'est ça. Bravo !