système d'équation "trigonométrique" à 3 inconnus

[cupidonihack]

Bonjour,
j'ai hésité avant de poser ma question ici car le problème me semblait simple à la base mais je bloque complètement ...

Est il possible de résoudre le système suivant pour extraire les valeur A , k et a: (les chiffres donnés sont à titre d'exemple [au cas ou le système soit "surdéfini"])
A.cos(k.x1+a)=0.8
A.cos(k.x2+a)=1
A.cos(k.x3+a)=0.6

x1,x2 et x3 sont connus par exemple respectivement 0 , 0.05 et 0.1
également x1<x2<x3 et x3-x1 a la période de kx

Si c'est possible de résoudre ce système pouvez vous m'expliquer les étapes ?
Désolé pour ma question de nulos .

Bonne journée,
Cupidonihack
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[jacknicklaus]

Bonjour,

donc tu as 3 équations du style A.cos(k.x1 + a ) = y1
pose (avec les bonnes conditions) phi1 tel que cos(phi1) = y1/A
tu te retrouves alors avec deux solutions périodiques par équation.
Chacune de ces solutions génère des systèmes d'équation hyper simples car linéaires.

yapluka.

[gg0]

Bonjour.

Je ne connais pas de méthode exacte pour traiter ce genre de problème. Je suis cependant surpris par une des hypothèses : "x3-x1 a la période de kx " ?? x3-x1 n'est pas une fonction périodique. Ou alors le problème est tout autre.

Cordialement.

[cupidonihack]

merci pour vos réponses,

@gg0 :

pour ce qui concerne x3-x1 j'ai mal écrit ma définition.
J'explique en détail :
cos(kx) avec k cste est périodique , si je me trompe pas, une période est égale à (2.Pi)/k.
les points de x (coordonées x1 x2 et x3) sont imposées et prise plus petit que la période de cos(kx).

Ce que je désirais faire c'est déterminer l'amplitude , le facteur k et la phase de ce cosinus à partir de sa valeur connue en trois point (4 s'il le faut) x (x1 , x2 , x3).
Je ne savais même pas dire si cela est faisable. ni comment procéder.

j'espère que reformulé comme cela c'est un peu plus clair.

bonne journée,
Cupidonihack

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

OK. Il manquait seulement un mot à ta phrase : "également x1<x2<x3 et x3-x1 inférieur à la période de kx.

Si tu peux avoir de nombreuses valeurs xi entre 0 et (2.Pi)/k, tu peux avoir un ajustement utile. C'est d'ailleurs préférable si les xi sont imprécis parce que résultats de mesures.

Cordialement.

[cupidonihack]

@ jacknicklaus :

Merci pour les indices , j'ai tenté le calcul que tu préconise , en admétant que Phi1 (= k.x1+a) soit modulo 2.Pi (2.n.Pi).
mais le calcul semble vite se complexifier et je suis rouillé ...
le premier résultats que j'obtient (détermination de la phase) prend comme hypothéses :

phi1= k.x1+a= 2.n.Pi avec cos(phi1)=Y1/A j'obtient des solutions de k du genre (2.n.Pi-a)/x1 que je peux réinjecter dans les autres membre .

phi2= k.x2+a= 2.m.Pi avec cos(phi2)=Y2/A en réinjectant k j'obtient a = (2mPi-2nPi(x2/x1))/(1-x2/x1))

or c'est faux en vérifiant manuellement sur excel les solutions à la main sur un système connu. peut être a cause des hyphothèses . je me sens nul lol

[gg0]

Pourquoi = 2 n. Pi ?

[cupidonihack]

en effet , c'est une mauvaise hypothèse... ça impose le cos() = 1 or ce n'est pas le cas...

[jacknicklaus]

@ jacknicklaus :
Merci pour les indices , j'ai tenté le calcul que tu préconise

Merci à gg0 de m'avoir montré que ma "piste" est une fausse piste. Désolé de t'avoir fait perdre du temps. Le problème est nettement plus complexe que prévu... Je n'ai pas de nouvelle piste malgré quelques essais...

[cupidonihack]

aucun problème , au moins tu as eu une idée à explorer. Dans mon cas c'est page blanche lol .
a moins peut etre de convertir les cos en exponentielles (euler) et de partir en se débarassant de A en faisant le ratio par exemple Y1/Y2 ?
un ln bien placé en ayant factorisé les exponentielle pourrait peut etre dégager un premier lot de solutions à tester dans la dernière equation du système (Y3) ?
ça vous semble jouable ou les exponentielles ne sont pas "simplifiable" ?

[gg0]

S'il n'y a pas de rapport simple entre les xi, les exponentielles ne sont pas liées par un calcul algébrique simple, voire par aucun calcul algébrique.
Quelle est l'origine de ton problème ? N'y a-t-il pas un autre angle d'attaque ?

[cupidonihack]

les xi peuvent être imposés de manière arbitraire mais sans connaissance exacte de k ,A et a. ce qui implique qu'il n'y a pas de relation forte entre k ou a et les xi qui auraient pu dégager des simplifications.
Il s'agit dans le cas concret d'essayer de retrouver par la mesure (pas très précisément) la fréquence d'une onde sachant qu'on connait déjà a peut prêt sa gamme de fréquence dans une cavité puis dans un second temps de déterminer le taux d'onde stationnaire de cette cavité a partir de petites antennes de champ E placées a des emplacements fixes de la cavité (3 de base).
Durant cette nuit je me suis souvenu d'un prof d'IUT qui nous disais que l'on pouvait retrouver la forme d'un sinus des l'ors que l'on connais deux points situés dans l'une de ses période (vague souvenir de shanon je crois).
Et du coup j'ai tenté ce matin de poser le problème. d'abord en considérant une cavité parfaite ou l'onde incidente et réfléchies sont égales se qui conduit a poser le problème sous l'angle que je vous ai exposé.

[cupidonihack]

je pensais adapter le principe suivant https://www.f-legrand.fr/scidoc/doci...illonnage.html en prenant non pas en compte des echantillons réparti dans le temps mais du coup dans l'espace. mais avant de tester ça je me suis demandé s'il n'y avait pas de solutions analytique déjà connue pour ce problème.

[cupidonihack]

ça ne marche pas car trop peu de points de mesure