Bonjour à tous,
Petite question au saut du lit .-)
Si une fonctionn définie sur R admet un extremum, la fonction f2 (f au carré) admet-elle le même extremum?
Est-ce toujours vrai pour les polynômes du 2ème degré?
Merci pour vos propositions
et bonne journée
Fred
il est facile de voir que ça n'est pas le cas.
Bonjour MissJenny,
Merci pour ta réponse,
un exemple ?
Et pour les polynômes du 2ème degré?
prends l'application f:{a,b,c}->R définie par f(a)=-1, f(b)=0 et f(c)=2. -1 est le minimum de f mais ni le minimum ni le maximum de f^2.
Si on se restreint aux fonctions définies sur R continues et dérivables (ce qui inclut les polynomes), la dérivée de f² est 2f'f, qui est nulle quand f' est nulle, mais aussi quand f est nulle. Du coup tous les extremums locaux de f (signalés par la nullité de f') se retrouvent dans f² (l'inverse n'étant pas vrai), mais ils ne sont pas forcément de même nature (si c'est un minimum local pour f, ça peut devenir un maximum local pour f²).
Bien-sûr, s'il s'agit de l'extremum global de f, rien ne dit a priori que ce sera l'extremum global de f². Par exemple x²-1 a son minimum pour x=0, mais (x²-1)² a un maximum en x=0 qui n'est que local.
m@ch3
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