Pourquoi la moyenne quadratique pour calculer la variance ?

[uik]

Bonjour,

pourquoi utilise t'on la moyenne quadratique pour trouver la variance ?
Qu'est ce qui nous empêche d'utiliser la moyenne arithmétique ? D'autant + que les 2 donne un résultat différent...
J'ai déjà vu le sujet sur le forum mais je ne vois aucune réponse vraiment concluante, certain disent que c'est pour pas avoir un résultat égal à zéro mais dans ce cas là on peut utiliser la valeur absolue...

Pour moi utiliser la moyenne quadratique est totalement arbitraire, je ne vois pas du tout pourquoi on fait ça, et même comment considérer le résultat...
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[MissJenny]

On peut effectivement caractériser la variabilité par la moyenne des valeurs absolues des écarts à la moyenne. Si on veut faire savant on parle de "norme L1" (la variance traditionnelle correspondant à la norme L2). Mais les sommes de carrés se prêtent mieux au calcul, du fait du théorème d'Huyghens, lequel n'a pas d'équivalent en norme L1.

[gg0]

Bonjour uik.

Il y a une raison historique, qui s'est transformé en une "bonne raison", celle que donne MissJenny (simplicité de calcul+propriétés calculatoires). J'y reviendrai.
Lorsque les probas se sont constituées (et même dans les débuts des stats), les mathématiciens étaient aussi mécaniciens (mécanique rationnelle) et connaissaient sur le bout des doigts les notions de centre de masse et d'inertie. Le centre de masse est une moyenne, l'inertie souvent une moyenne de carrés. D'où l'idée d'utiliser ces deux outils, bien connus. Le coup de grâce a été donné par Gauss, quand il a montre que la loi des erreurs de mesure (dans certaines conditions) utilisait l'exponentielle d'une somme de carrés, pas une valeur absolue comme l'avait proposé Laplace dans un premier temps. Et on a commencé à mesurer les écarts par une somme de carrés (méthode des moindres carrés).

Revenons aux bonnes raisons.
La simplicité de calcul : Pour deux variables indépendantes, la variance de la somme est la somme des variances. Pour une population composée de diverses sous-populations, la variance est la somme de la moyenne des variances des sous-population et de la variance des moyennes des sous-populations affectées de leur effectif (formule d'analyse de la variance).
Propriétés calculatoires : Si on calcule la somme des carrés des écarts à une valeur donnée, le minimum est obtenu quand cette valeur est la moyenne arithmétique. Et ce minimum est la variance. On peut remplacer la somme des carrés par la somme des valeurs absolues, le minimum est obtenu pour la médiane - mais la valeur de la médiane est parfois floue (certaines séries discrètes). Et surtout, de nombreuses lois de probabilité sont caractérisées par leur moyenne et leur médiane, en particulier la loi Normale, centrale en statistiques.

Cordialement.

[uik]

Merci pour cette réponse, j'ai pas tout compris mais je m'y attaque.
Qu'en est il de la règle 68-95-99,7 ?
J'ai rien trouvé sur internet permettant de trouver ces trois valeurs, de ce que j'ai compris c'est totalement aléatoire comme valeur, il n'y a pas de propriété liée. Si c'est le cas est ce que ce serait LA raison pour laquelle on utilise le carré au final ? Donc pour ne pas avoir une moyenne de 0, la règle de 68-95-99,7 ne serait qu'une conséquence de cette convention ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

Merci pour cette réponse, j'ai pas tout compris mais je m'y attaque.
Qu'en est il de la règle 68-95-99,7 ?
J'ai rien trouvé sur internet permettant de trouver ces trois valeurs, de ce que j'ai compris c'est totalement aléatoire comme valeur, il n'y a pas de propriété liée. Si c'est le cas est ce que ce serait LA raison pour laquelle on utilise le carré au final ? Donc pour ne pas avoir une moyenne de 0, la règle de 68-95-99,7 ne serait qu'une conséquence de cette convention ?

Ca ça vient de la loi normale : https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_no...s_de_confiance

m@ch3

[gg0]

Bonjour.

Peux-tu nous dire ce que tu appelles " la règle 68-95-99,7" ? J'ai enseigné probas et statistiques à un niveau universitaire, je dois reconnaître que je ne sais pas exactement de quoi tu parles (même si j'ai quelques doutes).

Cordialement.

[MissJenny]

Je ne connais pas non plus cette règle, encore une appellation d'origine non contrôlée (inventée par un enseignant sans-doute).

[gg0]

A moins que ça vienne d'un intervenant viré du forum (et d'autres) pour qui toute variable aléatoire était gaussienne (!). Il a son propre forum pour pouvoir raconter ses c...

[Deedee81]

Salut,

Gg0, ne taquine pas la queue du dragon, pas evie de le revoir celui-là

Pour la question initiale, rappelons qu'il existe de nombreuses définitions de moyennes (géométriques, harmoniques,...) et elles ont leur utilité dans telles ou telles circonstances. Il s'avère juste que la quadratique est souvent la plus adaptée aux besoins.

[Liet Kynes]

Bonjour.

Peux-tu nous dire ce que tu appelles " la règle 68-95-99,7" ? J'ai enseigné probas et statistiques à un niveau universitaire, je dois reconnaître que je ne sais pas exactement de quoi tu parles (même si j'ai quelques doutes).

Cordialement.

Recherche Wikipedia et hop
https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8gle_68-95-99,7

[gg0]

Bonjour Liet Kynes.

Croyais-tu vraiment que je ne sais pas d'où sortent ces nombres ? Après la réponse de Mach3, je n'allais pas rappeler que ce sont des pourcentages correspondant à des intervalles de 2, 4 et 6 écarts types. J'attendais une réponse de Uik, pour lui montrer où chercher si l'indication de mach3 ne suffisait pas.
En industriel on parle plus généralement de 4 et 6.

NB : Pourquoi répondre un mois après ??

[gg0]

A noter : Cette "règle" est dangereuse, et souvent appliquée indument. Si la distribution n'est pas approximativement gaussienne, la "règle" est tout bonnement fausse !!

[Liet Kynes]

Bonjour Liet Kynes.

Croyais-tu vraiment que je ne sais pas d'où sortent ces nombres ? Après la réponse de Mach3, je n'allais pas rappeler que ce sont des pourcentages correspondant à des intervalles de 2, 4 et 6 écarts types. J'attendais une réponse de Uik, pour lui montrer où chercher si l'indication de mach3 ne suffisait pas.
En industriel on parle plus généralement de 4 et 6.

NB : Pourquoi répondre un mois après ??

Je sais que tu sais , j'ai placé le lien pour rebondir sur ton idée et renforcer celui de mach3. Je n'ai pas vu que je déterrais un sujet par contre.