Combinaison avec k > n

[Le Capitaine Jack Sparrow]

Bonjour,


Sujet :
https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Asi_S_juin_2005.pdf

Correction :
https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Corrige..._juin_2005.pdf


En résolvant l'exercice 2 une question m'est venue.

A la question 4, on suppose le nombre de boule jaune égal ou plus grand que 1.

Mais en résolvant cette question à l'aide des formules de combinaison on tombe sur une combinaison avec k > n avec n = 1.


On a p(G) = P(J) + p(V)
= (2 parmi 3+n)^-1 * (2 parmi n) + (2 parmi 3+n)^-1

On est gagnant au jeu si l'on pioche 2 boules vertes ou 2 boules jaunes en piochant 2 boules au hasard dans une urne contenant 2 boules vertes et n boule(s) jaune(s).

Logiquement le nombre de couples dans un singleton est 0.
Mais je pense que mathématiquement on ne peut pas raisonner comme ça.

Qu'en pensez vous s'il vous plaît ?
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[gg0]

Bonsoir.

Tu compliques la résolution en appliquant des formules inutiles. Si n=1, on ne peut tout simplement pas tirer deux boules jaunes, et la probabilité de gagner se calcule facilement. Sinon, ta formule ne pose pas de problème puisque (2 parmi 1)=0. Les mathématiques ne contredisent pas l'évidence.

Cordialement.

[Le Capitaine Jack Sparrow]

Bonsoir,

Merci beaucoup pour votre réponse !

Mais j'ai lu sur internet que l'on ne pouvait faire la factorielle d'un nombre négatif, or la formule avec 2 parmi 1 donne : (1! / (2! * (1 - 2)!).

Qu'en pensez-vous s'il vous plaît ?

[gg0]

Bonsoir.

"la factorielle d'un nombre négatif" ?? C'est plus compliqué que ça ! On peut définir une fonction qui, d'une certaine façon, généralise la factorielle, la fonction Gamma (), car, pour un entier n>0,

On la définit sur l'ensemble des complexes de partie réelle strictement positive. On peut ensuite définir une fonction complexe définie plus largement, sur l'ensemble des complexes moins les entiers négatifs. D'une part, ce n'est plus la fonction Gamma originelle, d'autre part elle ne généralise pas la factorielle aux négatifs puisqu'elle n'existe pas pour n=0,-1,-2, ...
Donc ton (1-2)! n'a pas de sens. Heureusement, car prendre 2 objets parmi 1 relève de la magie, pas des maths.
La convention sur les coefficient binomiaux C(n,p) avec n et p entiers est que si n<0, ou p<0 ou n<p, C(n,p)=0. C'est compatible avec les formules courantes qui ont un sens et avec la construction du triangle de Pascal. Il y a une généralisation avec la fonction Gamma si n ou p n'est pas entier, mais elle ne fonctionne pas avec les entiers négatifs, même par passage à la limite.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

la formule avec 2 parmi 1 donne : (1! / (2! * (1 - 2)!).

mais si tu utilises la formule C(n,k) = n(n-1)...(n-k+1)/k! tu trouves bien 0 si k>n

[Le Capitaine Jack Sparrow]

Bonsoir,


Ah d'accord, merci pour vos réponses !


Ah oui effectivement MissJenny et c'est toujours dans l'esprit de la formule de base.